二线变换的简单质教学课件.ppt
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1、二、 线性变换的简单性质,4 特征值与特征向量,一、 特征值与特征向量,二、 特征值与特征向量的求法,三、 特征子空间,四、 特征多项式的有关性质,设 是数域P上线性空间V的一个线性变换,,则称 为 的一个特征值,称 为 的属于特征值,一、特征值与特征向量,定义:,若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量,使得,的特征向量., 几何意义:特征向量经线性变换后方向保持,由此知,特征向量不是被特征值所唯一确定的,,注:, 若 是 的属于特征值 的特征向量,则,也是 的属于 的特征向量.,但是特征值却是被特征向量所唯一确定的,即,若 且 ,则,若 都是 的 属 于特 征 值 的特征向量,,设 是V的
2、一组基,,线性变换 在这组基下的矩阵为A.,下的坐标记为,二、特征值与特征向量的求法,分析:,设 是 的特征值,它的一个特征向量 在基,则 在基 下的坐标为,而 在基下的坐标是,于是,又,从而,又,即 是线性方程组 的解,,以上分析说明:,所以它的系数行列式,从而 有非零解.,若 是 的特征值,则,反之,若 满足,则齐次线性方程组 有非零解.,若 是 一个非零解,,特征向量.,则向量 就是 的属于 的一个,设 是一个文字,矩阵 称为,称为A的特征多项式.,1. 特征多项式的定义,A的特征矩阵,它的行列式,( 是数域P上的一个n次多项式),矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注:,而相应
3、的线性方程组 的非零解也就,称为A的属于这个特征值的特征向量.,i) 在V中任取一组基 写出 在这组基下,就是 的全部特征值.,ii) 求A的特征多项式 在P上的全部根它们,2. 求特征值与特征向量的一般步骤,的矩阵A .,iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组,并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值,的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.),则,就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.,而,(其中, 不全为零),就是 的属于 的全部特征向量.,如果特征值 对应方程组的基础解系为:,对 皆有,所以,V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.,例1.在线性空间V中,数乘变换K
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