概率论与数理统计课件(6-10).ppt
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1、参数估计,数理统计问题:如何选取样本来对总体的种种统计 特征作出判断。,参数估计问题:知道随机变量(总体)的分布类型, 但确切的形式不知道,根据样本来估计总体的参数,这 类问题称为参数估计(paramentric estimation)。,参数估计的类型点估计、区间估计,参数的估计量,设总体的分布函数为F(x,)(未知),X1,X2,Xn 为样本,构造一个统计量 来估计 参数,则称 为参数的估计量。,将样本观测值 代入 , 得到的值 称为参数的估计值。,参数的点估计,点估计的方法:数字特征法、矩法、极大似然法。,样本的数字特征法:以样本的数字特征作为相应总体 数字特征的估计量。,以样本均值 作
2、为总体均值 的点估计量,即,点估计值,点估计值,以样本方差 作为总体方差 的点估计量,即,例1 一批钢件的20个样品的屈服点(t/cm2)为 4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54 试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。,解 由数字特征法,得屈服点及方差的估计值为,定义 设 为随机变量,若 存在,则称 为 的 阶原点矩,记作 ;若 存在,则称 为 的 阶 中心矩,记作,样本的 阶原点矩,记作,样本的 阶中心矩,记作,阶矩的概念,参数的矩法
3、估计,矩法估计:用样本的矩作为总体矩的估计量,即,若总体X的分布函数中含有m个参数1, 2, , m, 总体的k阶矩Vk或Uk存在,则,或,参数的矩法估计,或,矩法估计:用样本的矩作为总体矩的估计量,即,例2 设某总体X的数学期望为EX=,方差DX=2,X1, X2,Xn为样本,试求和2的矩估计量。,解 总体的k阶原点矩为,样本的k阶原点矩为,由矩法估计,应有,所以,结论:不管总体X服从何种分布,总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值、样本方差,即,估计值为,例3 设X1,X2,Xn为总体X的样本,试求下列总体 分布参数的矩估计量。,解 (1)由于,(2)由于,所以参数和2的矩估计量为,所以
4、,得参数p的矩估计量为,例3 设X1,X2,Xn为总体X的样本,试求下列总体 分布参数的矩估计量。,解 (3)由于,所以参数的矩估计量为,可见:同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量 存在“优、劣”之分。,或,一阶矩,二阶矩,例4 设总体X服从1, 2上的均匀分布, 12,求 1, 2的矩估计量, X1,X2,Xn为X的一个样本。,解 由于,所以由矩法估计,得,解得,区间长度的矩估计量为,解 由于,所以由矩法估计,得,解得,所以,参数 的矩估计量为,例5 对容量为n的子样,求下列密度函数中参数 的 矩估计量。,参数的极大似然估计法,思想:设总体X的密度函数为f(x,),为未知参数,则 样本(
5、X1,X2,Xn)的联合密度函数为,令,参数的估计量 ,使得样本(X1,X2,Xn)落在观测 值 的邻域内的概率L()达到最大,即,则称 为参数的极大似然估计值。,参数的极大似然估计法,求解方法:,(2)取自然对数,其解 即为参数的极大似然估计值。,(3)令,(1)构造似然函数,若总体的密度函数中有多个参数1,2,n,则将 第(3)步改为,解方程组即可。,例6 假设(X1,X2,Xn)是取自正态总体N(,2) 的样本,求和2的极大似然估计量。,解 构造似然函数,取对数,续解,求偏导数,并令其为0,解得,所以,2的极大似然估计量为,与矩估计量 相同,估计量的评选标准,无偏性、有效性、相合性*、充
6、分性与完备性*,无偏估计量:设 是 的估计量,如果 则称 是 的无偏估计量(unbiased estimation),例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在, 证明:样本均值 、样本方差 分别是EX、DX的无偏估计。,例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在, 证明:样本均值 、样本方差 分别是EX、DX的无偏估计。,证明,证明,有 效 性,设 是 的无偏估计量,当样本容量n固定时,使 达到最小的 称为 的有效估计,比较:若 ,则 比 有效。,例如 及 (其中 )都是EX的无偏 估计,但 比 有效。,例如 及 (其中 )都是EX的无偏 估计,但 比 有效。,因为,算术平均几何平均,小 结
7、,参数估计的点估计方法,数字特征法:以样本均值、方差作为总体期望、方差 的估计量。,矩法估计:以样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量。,或,作业 P130 1,2,4 预习 第三节 区间估计,区间估计,区间估计的思想,点估计总是有误差的,但没有衡量偏差程度的量, 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。,引例 设某厂生产的灯泡使用寿命XN(,1002),现 随机抽取5只,测量其寿命如下:1455,1502,1370, 1610,1430,则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为,可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右, 但范围有多大呢?又有多大的可能性在这“左右”呢
8、?,如果要求有95%的把握判断在1473.4左右,则由U统计 量可知,由,查表得,置信水平、置信区间,设总体的分布中含有一个参数,对给定的,如果 由样本(X1,X2,Xn)确定两个统计量 1( X1,X2,Xn ), 2( X1,X2,Xn ), 使得P1 2=1- ,则称随机区间( 1 , 2 )为 参数的置信度(或置信水平)为1- 的置信区间。,1置信下限 2置信上限,几点说明,1、参数的置信水平为1-的置信区间( 1, 2) 表示该区间有100(1-)%的可能性包含总体参 数的真值。,2、不同的置信水平,参数的置信区间不同。,3、置信区间越小,估计越精确,但置信水平会降低; 相反,置信水
9、平越大,估计越可靠,但精确度会降 低,置信区间会较长。一般:对于固定的样本容量, 不能同时做到精确度高(置信区间小),可靠程度也 高(1- 大)。如果不降低可靠性,而要缩小估计范 围,则必须增大样本容量,增加抽样成本。,正态总体方差已知,对均值的区间估计,如果总体XN(,2),其中2已知, 未知, 则取U-统计量 ,对做区间估计。,对给定的置信水平1-,由 确定临界值(X的双侧分位数)得的置信区间为,将观测值 代入,则可得具体的区间。,例1 某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X 可以认为服从正态分布,从某天的产品中随机抽取6个, 测得直径为(单位:cm) 14.6,15.1,14.9,
10、14.8,15.2,15.1 (1)试求该天产品的平均直径EX的点估计; (2)若已知方差为0.06,试求该天平均直径EX的置信 区间:=0.05;=0.01。,解 (1)由矩法估计得EX的点估计值为,续解 (2)由题设知XN(,0.06),构造U-统计量,得EX的置信区间为,当=0.05时,,而,所以,EX的置信区间为(14.754,15.146),当=0.01时,,所以,EX的置信区间为(14.692,15.208),置信水平提高,置信区间扩大,估计精确度降低。,例2 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布 N(,2),且标准差=12元,今要对该地旅游者的平 均消费额EX加以估计,为了能以
11、95%的置信度相信这种 估计误差小于2元,问至少要调查多少人?,解 由题意知:消费额XN(,122),设要调查n人。,由,即,得,查表得,而,解得,至少要调查139人,正态总体方差未知,对均值的区间估计,如果总体XN(,2),其中,均未知,由,构造T-统计量,当置信水平为1-时,由,查t-分布表确定,从而得的置信水平为1-的置信区间为,例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布,今随机抽取9个,测得其重量为(单位:克): 21.1,21.3,21.4,21.5,21.3,21.7,21.4,21.3, 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。,解 由题设可知:口杯的重
12、量XN(,2),由抽取的9个样本,可得,由,得,查表得,全部口杯的平均重量的置信区间为(21.26,21.54),P127例5与P126例3的比较:,解 由题设可知:平均消费额XN(,2),平均消费额的置信区间为(75.0464,84.9536),由,得,查表得,估计误差为,精确度降低,原因:样本容量减少,在实际应用中,方差未知的均值的区间估计 较有应用价值。,练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态 分布,经调查100家住户,得出每户每月平均需求量为 10公斤,方差为9,如果某商店供应10000户,试就居民 对该种商品的平均需求量进行区间估计(=0.01),并 依此考虑最少要准备多
13、少这种商品才能以99%的概率满 足需求?,解 由题设可知:平均需求量XN(,2),平均消费额的置信区间为(9.229,10.771),由,查表得,续解,要以99%的概率满足10000户居民对该种商品的需求,则最少要准备的量为,(公斤),最多准备,(公斤),正态总体均值已知,对方差的区间估计,如果总体XN(,2),其中已知,2未知,由,构造2-统计量,查2- 分布表,确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信区间为,例题 已知某种果树产量服从(218,2),随机 抽取6棵计算其产量为(单位:公斤) 221,191,202,205,256,236 试以95%的置信水平估计产量的方差。,解,计算
14、,查表,果树方差的置信区间为,正态总体均值未知,对方差的区间估计,如果总体XN(,2),其中2未知,由,构造2-统计量,当置信水平为1-时,由,查2- 分布表,确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信区间为,例4 设某灯泡的寿命XN(,2), ,2未知,现 从中任取5个灯泡进行寿命试验,得数据10.5,11.0, 11.2,12.5,12.8(单位:千小时),求置信水平为 90%的2的区间估计。,解 样本方差及均值分别为,2的置信区间为(0.4195,5.5977),由,得,查表得,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,(1)方差已知,对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造
15、U-统计量,反查标准正态分布表, 确定U的双侧分位数,得EX的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,(2)方差未知,对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造T-统计量,查t-分布临界值表, 确定T的双侧分位数,得EX的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,(3)均值已知,对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量,查2-分布临界值表, 确定2的双侧分位数,得2的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,(4)均值未知,对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量,查2-分布临界值表, 确定2的双侧分位数,得2的区
16、间估计为,(1)方差已知,对均值的区间估计,构造U统计量,(2)方差未知,对均值的区间估计,构造T统计量,总体服从正态分布的对均值的区间估计,区间估计,(4)均值未知,对方差的区间估计,构造2统计量,(3)均值已知,对方差的区间估计,构造2统计量,总体服从正态分布的对方差的区间估计,区间估计,作业 P131 5,7,8,9,14,15* 预习 第10章 15节,假设检验,引 言,统计假设通过实际观察或理论分析对总体分布形式 或对总体分布形式中的某些参数作出某种 假设。,假设检验根据问题的要求提出假设,构造适当的统 计量,按照样本提供的信息,以及一定的 规则,对假设的正确性进行判断。,基本原则小
17、概率事件在一次试验中是不可能发生的。,基本概念,引例:已知某班应用数学的期末考试成绩服从 正态分布。根据平时的学习情况及试卷的难易程度,估 计平均成绩为75分,考试后随机抽样5位同学的试卷, 得平均成绩为72分,试问所估计的75分是否正确?,“全班平均成绩是75分”,这就是一个假设,根据样本均值为72分,和已有的定理结论,对EX=75 是否正确作出判断,这就是检验,对总体均值的检验。,判断结果:接受原假设,或拒绝原假设。,表达:原假设:H0:EX=75;备择假设: H1:EX75,基本思想,参数的假设检验:已知总体的分布类型,对分布函数或 密度函数中的某些参数提出假设,并检验。,基本原则小概率
18、事件在一次试验中是不可能发生的。,思想:如果原假设成立,那么某个分布已知的统计 量在某个区域内取值的概率应该较小,如果样本的观 测数值落在这个小概率区域内,则原假设不正确,所以, 拒绝原假设;否则,接受原假设。,拒绝域,检验水平,引例问题,原假设 H0:EX=75;H1:EX75,假定原假设正确,则XN(75,2),于是T统计量,可得,如果样本的观测值,则拒绝H0,检验水平,临界值,拒绝域,基本步骤,1、提出原假设,确定备择假设;,2、构造分布已知的合适的统计量;,3、由给定的检验水平,求出在H0成立的条件下的 临界值(上侧分位数,或双侧分位数);,4、计算统计量的样本观测值,如果落在拒绝域内
19、, 则拒绝原假设,否则,接受原假设。,两 种 错 误,第一类错误(弃真错误)原假设H0为真,而检验 结果为拒绝H0;记其概率为,即 P拒绝H0|H0为真= ,第二类错误(受伪错误)原假设H0不符合实际, 而检验结果为接受H0;记其概率为,即 P接受H0|H0为假= ,希望:犯两类错误的概率越小越好,但样本容量一定 的前提下,不可能同时降低和。,原则:保护原假设,即限制的前提下,使尽可能的小。,注意:“接受H0”,并不意味着H0一定为真;“拒绝H0” 也不意味着H0一定不真。,单个正态总体方差已知的均值检验,问题:总体 XN(,2),2已知,假设 H0:=0;H1:0,构造U统计量,由,U检验,
20、双边检验,如果统计量的观测值,则拒绝原假设;否则接受原假设,确定拒绝域,H0为真的前提下,例1 由经验知某零件的重量XN(,2),=15, =0.05;技术革新后,抽出6个零件,测得重量为 (单位:克)14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6,已 知方差不变,试统计推断,平均重量是否仍为15克? (=0.05),解 由题意可知:零件重量XN(,2),且技术 革新前后的方差不变2=0.052,要求对均值进行 检验,采用U检验法。,假设 H0:=15; H1: 15,构造U统计量,得U的0.05双侧分位数为,例1 由经验知某零件的重量XN(,2),=15, =0.05;技术革新后
21、,抽出6个零件,测得重量为 (单位:克)14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6,已 知方差不变,试统计推断,平均重量是否仍为15克? (=0.05),解,因为4.91.96 ,即观测值落在拒绝域内,所以拒绝原假设。,而样本均值为,故U统计量的观测值为,计算机实现步骤,1、输入样本数据,存入C1列,2、选择菜单StatBasic Statistics1-Sample Z,3、在Variables栏中,键入C1,在Sigma栏中键入 0.05,在Test Mean栏中键入15,打开Options 选项,在Confidence level栏中键入95,在 Alternative中
22、选择not equal,点击每个对话框 中的OK即可。,显示结果中的“P”称为尾概率,表示,显示结果,(1)因为,所以拒绝原假设,(2)因为,所以拒绝原假设,(3)因为,所以拒绝原假设,结果分析,H0:=0;H1:0,H0:=0;H1:0,或,单 边 检 验,拒绝域为,拒绝域为,例2 由经验知某零件的重量XN(,2),=15, =0.05;技术革新后,抽出6个零件,测得重量为 (单位:克)14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6,已 知方差不变,试统计推断,技术革新后,零件的平 均重量是否降低?(=0.05),解 由题意可知:零件重量XN(,2),且技术 革新前后的方差不变2
23、=0.052,要求对均值进行 检验,采用U检验法。,假设 H0:=15; H1: 15,构造U统计量,得U的0.05上侧分位数为,单侧检验,因为 ,即观测值落在拒绝域内,所以拒绝原假设,即可认为平均重量是降低了。,而样本均值为,故U统计量的观测值为,例2 由经验知某零件的重量XN(,2),=15, =0.05;技术革新后,抽出6个零件,测得重量为 (单位:克)14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6,已 知方差不变,试统计推断,技术革新后,零件的平 均重量是否降低?(=0.05),解,计算机实现步骤,1、输入样本数据,存入C1列,2、选择菜单StatBasic Statist
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- 概率论 数理统计 课件 10
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