【测绘课件】05测量误差的基本知识.ppt
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1、测量学 第五章,测量误差的基本知识,本 章 要 点 1、测量误差概念(重点) 2、评定精度的标准(重点) 3、误差传播定律(重点) 4、等精度直接观测平差(难点),2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,2,目 录,第一节 测量误差 概述 第二节 评定精度 的指 标 第三节 误差传播 定律 第四节 等精度直 接观测平差,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,3,5-1 测量误差概述,5.1.1 测量误差及其来源 l 误差存在的现象:观测值与理论值不符,如高差闭合差fh。 l 测量误差:观测值与相应真值之差。 观测值: 测量所获得的数值。 l 真误差()关系式 真误差 =观测值L 真值
2、X , 即 = L X 或 = X L (亦可),2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,4,l 观测误差来源:来源于以下三个方面:,观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平;仪器、 工具的精密程度;观测时外界条件的好坏。 l 观测条件 观测条件:观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为 。 观测条件与观测成果精度的关系: 若观测条件好,则测量误差小,测量的精度就高; 若观测条件不好,则测量误差大,精度就低; 若观测条件相同,则可认为观测精度相同。 等精度观测:在相同观测条件下进行的一系列观测 不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测,2019/7/8,第五章测
3、量误差的基本知识,5,l 研究误差理论的目的,由于在测量的结果中有误差是不可避免的,研究误差理论 不是为了去消灭误差,而是要对误差的来源、性质及其产生 和传播的规律进行研究,以便解决测量工作中遇到的一些实 际问题。 l 研究误差理论所解决的问题: (1)在一系列的观测值中,确定观测量的最可靠值; (2)如何来评定测量成果的精度,以及如何确定误差的限度等; (3)根据精度要求,确定测量方案(选用测量仪器和确定测量方法)。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,6,5.1.2、 测量误差的分类,测量误差按其性质可分为 系统误差 偶然误差,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,7,1系统
4、误差,系统误差:在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系列观测,若误差的大小和符号保持不变,或按照一定的规律变化,这种误差称为 。 系统误差产生的原因 : 仪器工具上的某些缺陷;观测者的某些习惯的影响;外界环境的影响。 系统误差的特点: 具有累积性,对测量结果影响较大,应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。 例:水准测量中LL/CC产生 的i角误差对尺读数的影响: 即 = a a = S tgi 随着S 的增长而加大-系统误差,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,8,系统误差对观测值的准确度(偏离真值的程度)影响很大,必须消除 系统误差消减方法 1、在观测方法和观测程序上采取一定的措
5、施; 例:前后视距相等水准测量中i角误差对h的影响、 球气差对h的影响及调焦所产生的影响。 盘左盘右取均值经纬仪的CC不垂直于HH;HH不垂 直于VV;度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。 水准测量往返观测取均值仪器和尺垫下沉对h的影响。 2、找出产生的原因和规律,对测量结果加改正数。 例:光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。 3、仔细检校仪器。 例:经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,9,2偶然误差,l 偶然误差:在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系列观测,如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性,即从表面上看,误差的大小和符号均
6、呈现偶然性,这种误差称为 。 l 产生偶然误差的原因: 主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制,如观测者的估读误差、照准误差等,以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。 l 偶然误差的规律:偶然误差在测量过程中是不可避免的,从单个误差来看,其大小和符号没有一定的规律性,但对大量的偶然误差进行统计分析,就能发现在观测值内部却隐藏着统计规律。 偶然误差就单个而言具有随机性,但在总体上具有一定的统计规律,是服从于正态分布的随机变量。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,10,错误,测量成果中除了系统误差和偶然误差以外,还可能出现错误(有时也称之为粗差)。 错误产
7、生的原因:较多 可能由作业人员疏忽大意、失职而引起,如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等; 也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起; 还有可能是容许误差取值过小造成的。 错误对观测成果的影响极大,所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。 发现错误的方法:进行必要的重复观测,通过多余观测条件,进行检核验算;严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,11,误差理论研究的主要对象 在测量的成果中: 错误可以发现并剔除, 系统误差能够加以改正, 而偶然误差是不可避免的,它在测量成果中占主导地位,所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。,20
8、19/7/8,第五章测量误差的基本知识,12,5.1.3偶然误差的特性,l 偶然误差的特点具有随机性,所以它是一种随机误差 l 偶然误差就单个而言具有随机性,但在总体上具有一定的统计规律,是服从于正态分布的随机变量。 偶然误差分布的表示方法 表格法 直方图法 误差概率分布曲线-正态分布曲线,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,13,1、 表格法,例如: 在相同观测条件下观测了217个三角形(见图5-J1)的内角,每一个三角形内角和的真误差为三内角观测值的和减去180, 即:=+-180。 将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d(如表5-1中的3); 统计出每一个小区间出现的误差
9、个数k及频率, 频率 = 个数k/总数n(n=217),得出统计表。,图5-J1,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,14,表5-1 三角形内角和真误差统计表,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,15,从表5-1中可以看出,,该组误差的分布表现出如下规律: 小误差出现的个数比大误差多; 绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等; 最大误差不超过27。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,16,2、直方图法,横坐标以偶然误差为横坐标, 纵坐标以频率 d(频率/组距)为纵坐标, 在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形, 各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率(K
10、 n ) 所有区间的矩形构成了直方图,如图5-1所示 统计表和直方图是偶然误差的实际分布。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,17,图5-1,有斜线的矩形面积: 为误差出现在+6 +9 之间的频率(0.069),2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,18,3、误差概率分布曲线-正态分布曲线,当直方图中: n ,d各区间的频率也就趋于一 个完全确定的数值概率. 若d 0时,则直方图成为误差概率曲线正态分布曲线。它服从于正态分布。 正态分布曲线的方程式为:,式中:为偶然误差; (0)称为标准差,是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以 反映观测精度的高低。,2019/7/8,第五章
11、测量误差的基本知识,19,标准差定义为: 误差概率曲线:叫作偶然误差的理论分布(见图5-2) 误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1 图5-2 的误差分 布曲线是对应 着某一观测条 件的,当观测 条件不同,其 相应的误差分 布曲线的形状 也随之改变。,图5-2,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,20,偶然误差的四个特性,特性一 有限性:在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值; 特性二 集中性:即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大; 特性三 对称性:绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同; 特性四 抵偿性:当观测次数无限增多时,偶然误差的算术平均值趋近于
12、零。即:,在数理统计中,(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零,用公式表示: E()=0.,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,21,不同精度的误差分布曲线: 如图5-3:曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。 v 曲线I 较陡峭,即分布比较集中,或称离散度较小, 因而观测精度较高。 v 曲线II较为平 缓,即离散度较 大,因而观测精 度较低。,图5-3,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,22,v当=0 时, v上式是两误差分布曲线的峰值。 其中曲线的峰值较曲线的高,即12 ,故第组观测的小误差出现的概率较第组的大。 由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1,所
13、以当小误差出现的概率较大时,大误差出现的概率必然要小。 v 曲线I表现为较陡峭,即分布比较集中,或称离散度较小,因而观测精度较高。 v 曲线II相对来说较为平缓,即离散度较大,因而观测精度较低。,如图5-3中,曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,23,误差理论研究的主要对象偶然误差,在测量的成果中: 错误可以发现并剔除, 系统误差能够加以改正, 偶然误差是不可避免的,它在测量成果中占主导地位, 测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,24,5-2 评定精度的指标,精度是指一组观测值的密集与离散
14、程度,也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。 例:对A边三次丈量值为56.882, 56.885, 56.884 后对A边丈量了三次 为56.882, 56.883, 56.883,可以看出: 前者离散度大,精度低;后者离散度小,精度高。但为了准确评定观测结果的精度,需要有一些确定的指标。 评定精度的指标: 中误差、相对误差、极限误差和容许误差,5-2 评定精度的指标,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,25,一、中误差,注意:在一组同精度的观测值中,尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异,而观测值的中误差却是相同的,因为中误差反映观测的精度: 只要观测条件相同,则中误差不变。
15、中误差代表的是一组观测值的误差分布。,式(5-3)定义的标准差是衡量精度的一种指标,是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多,因此实际应用中,以有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m,作为衡量精度的一种标准,计算公式为:,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,26,【例5-1】,有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角,得三角形的闭合差(即三角形内角和的真误差)分别为: 甲:+3、+1、-2、-1、0、-3; 乙:+6、-5、+1、-4、-3、+5。 试分析两组的观测精度。 【 解 】用中误差公式(5-6)计算得:,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识
16、,27,从上述两组结果中可以看出,甲组的中误差较小(2.0),所以观测精度高于乙组( 4.3)。 而直接从观测误差的分布来看,也可看出甲组观测的小误差比较集中,离散度较小,因而观测精度高于乙组。 在测量工作中,普遍采用中误差来评定测量成果的精度。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,28,二、相对误差,绝对误差 :有符号,并且有与观测值相同的单位的误差,被称为 。(如真误差和中误差) 绝对误差:用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。(如角度、方向等) 相对误差: 在某些测量工作中,绝对误差不能完全反映出观测的质量。 相对误差“K ” 等于误差的绝对值与相应观测值的比值。它是一个
17、不名数,常用分子为1的分式表示,即:,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,29,相对中误差:当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时,K称为 。 相对较差:在距离测量中还常用往返测量结果的 相对较差来进行检核。 相对较差定义为:,相对较差是相对真误差,它反映的只是往返测的符合程度,显然,相对较差愈小,观测结果愈可靠。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,30,三、极限误差和容许误差,1极限误差 l 在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。 在一组等精度观测值中, ( 中误差) 绝对值大于 的偶然误差,其出现的概率为31.7%; 绝对值大于2 的
18、偶然误差,其出现的概率为4.5%; 绝对值大于3 的偶然误差,出现的概率仅为0.3%。 l 在测量工作中,要求对观测误差有一定的限值。 大于3m的误差出现的机会只有3,在有限的观测次数中,实际上不大可能出现。所以,可取3 作为偶然误差的极限值,称极限误差。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,31,2容许误差,l 在实际工作中,测量规范要求观测中不容许存在较大的误差,可由极限误差来确定测量误差的容许值,称为容许误差,即: l 当要求严格时,也可取两倍的中误差作为容许误差,即 如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差,则认为该观测值不可靠,应舍去不用或重测。,2019/7/8,第
19、五章测量误差的基本知识,32,5-3 误差传播定律,在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。 误差传播定律: 说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,33,间接观测量: 在实际测量工作中,往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的, 由直接观测的量,通过函数关系间接计算得出的量称为。 例如:用水准仪测量两点间的高差h,通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的:h =ab 。 间接观测量的误差: 由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此 间接观测量函数(h)也必然受到影响而产生误差。,2019/7/8,第五章测量误差的
20、基本知识,34,一、误差传播定律,设Z是独立观测量x1,x2,xn的函数,即 式中:x1,x2,xn为直接观测量,它们相应的观测值的中误差分别为m1,m 2,mn,则观测值的函数Z的中误差为: 式中 为函数Z分别对各变量xi的偏导数,并将观测值(xi=Li)代入偏导数后的值,故均为常数。,(5-10),2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,35,求任意函数中误差的方法和步骤如下:,列出独立观测量的函数式: 求出真误差关系式。对函数式进行全微分,得 求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方,系数也平方,即可直接写出中误差关系式:,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,36,表5
21、-2 常用函数的中误差公式,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,37,二、应用举例,【例5-2】 在比例尺为1:500的地形图上,量得两点的长度为 d=23.4 mm,其中误差 md=0.2 mm,求该两点的实际距离D及其中误差 mD 。 解:函数关系式:D=M d,属倍数函数,M=500是地形图比例尺分母。 两点的实际距离结果可写为:11.7 m0.1 m。,二、应用举例,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,38,【例5-3】,水准测量中,已知后视读数a =1.734 m,前视读数b=0.476 m,中误差分别为ma=0.002 m,mb=0.003 m,试求两点的高差及其中
22、误差。 解:函数关系式为h=a-b,属和差函数,得,两点的高差结果可写为1.258 m0.004 m。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,39,【例 5-4】,在斜坡上丈量距离,其斜距为L=247.50 m,中误差mL=0.05 m,并测得倾斜角=1034,其中误差m=3,求水平距离D及其中误差mD,解: 1)首先列出函数式 2)水平距离 这是一个非线性函数,所以对函数式进行全微分, 3)先求出各偏导值如下,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,40,5)得结果 : D=243.30 m0.06 m。,4)写成中误差形式:,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,41,【例
23、5-5】,图根水准测量中,已知每次读水准尺的中误差为mi=2 mm,假定视距平均长度为50 m,若以3倍中误差为容许误差,试求在测段长度为L km的水准路线上,图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。 解:1)每站观测高差为: 2)每站观测高差的中误差: 因视距平均长度为50 m,则每公里可观测10个测站,L公里共观测10L个测站,L公里高差之和为: L(km)高差和的中误差为:,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,42,往返高差的较差(即高差闭合差)为: 高差闭合差的中误差为: 以3倍中误差为容许误差,则高差闭合差的容许值为: 在第二章中,取 作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以
24、外的其它误差的影响(如外界环境的影响、仪器的i角误差等)。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,43,三、注意事项,应用误差传播定律应注意以下两点: 1要正确列出函数式 例:用长30 m的钢尺丈量了10个尺段,若每尺段的中误差为ml=5 mm,求全长D及其中误差mD。 1)函数式 按倍数函数式求全长中误差,将得出 2)实际上全长应是10个尺段之和,故函数式应为 用和差函数式求全长中误差,因各段中误差均相等,故得全长中误差为 按实际情况分析用和差公式是正确的,而用倍数公式则是错误的。,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,44,2019/7/8,第五章测量误差的基本知识,45,上面
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