【测绘课件】第一章 观测误差与传播律.ppt
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1、第一章 观测误差与传播律,第一节 观测误差 第二节 偶然误差的统计性质 第三节 衡量精度的指标 第四节 协方差阵、协因数阵和权阵 第五节 广义传播律 第六节 广义传播律在测量中的应用 第七节 系统误差的传播,第一节 观测误差,当对某量进行重复观测时,就会发现,这些观测值之间会存在一些差异。例如,对现一段距离重复测量若干次,量得的长度通常是互有新式异。另一种情况是,如果已经知道某几个量之间应该满足某一理论关系,但当对这几个量进行观测后,也会发现实际观测结果往往不能满足应有的理论关系。例如,从几何上知道一平面三角形内角之和应等于180,但如果对这三个内角进行观测,则三内角观测值之和常常不等于180
2、,而有差异。 在同一量的各观测值之间,或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现角,在测量工作中是普通存在的。为什么会产生这种差异呢?不难理解,这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。 观测误差的产生原因很多,概括起来有以下三方面: 返回目录,一 测量仪器 测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于每种仪器只具有一定限度的精密度,因而使观测测值的精密度受到一定的限制,例如,在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测验量时,就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误;同时,仪器本身也有一定的误差,便如,水准仪的视准轴不平行于水准轴,水准尺的分划误差等等。因此,使用这种水准仪和水准尺进行观测,就会和
3、水准测量的结果产生误差。同样,经纬仪、测距仪、GPS、全站仪等仪器的误差也使测量结果产生误差。 二 观测者 由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性,所以在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。同时,观测者的工作态度和技术水平,也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。 返回目录,三 外界条件 观测时所处的处界条件,如温度、湿度、风力、大气折光 等因素都会对测量结果直接产生影响;同时,随着温度的高 低,湿度的大小,风力的强弱以及大气折光的不同,它们对 测量结果的影响也随之不同,因而在这样的客观环境下进行 观测,就必然使观测的结果产生误差。 上述测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起
4、误差的主要来源。因此,我们把这三方面的因素综合起来称为观测条件。不难想象,观测条件的好、坏与观测成果的质量有着密切的联系。当观测条件好一些,观测中所产生的误差平均说来就可能相应地小一些,因而观测成果的质量就会高一些。反之,观测条件差一些,观测成果的质量就会低一些。如果观测条件相同,观测成果的质量也就可以说是相同的。所以说,观测成果的质量高低也就客观地反映了观测条件的优劣。但是,不管观测条件如何,在整个观测过程中,由于受到上述种种因素的影响,观测的结果就会产生这样或那样的误差。从这一意义上来说,在测量中产生误差是不可避免的。当然在客观条件允许的限度内,测量工作者可以而且 返回目录,必须确保观测成
5、果具有较高的质量。但是,不管观测条件如何,在整个观测过程中,由于受到上述种种因素的影响,观测的结果就会产生这样或那样的误差。从这一意义上来说,在测量中产生误差是不可避免的。当然在客观条件允许的限度内,测量工作者可以而且必须确保观测成果具有较高的质量。 根据观测误差的来源与对观测结果的影响性质、可将观测误差分为系统误差、偶然误差和粗差三种 一 系统误差 在相同的观测条件下一系列的观测,如果误差在大小、符号上表现出系统性,或者在观测过程中按一定的规律变化,或者为某一常数,那么,这种误差就称为系统误差。 例如,用具有某一尺长误差的钢尺量距时,由尺长误差所引起的距离误差与所测距离的长度成正比地增加,距
6、离愈长,所积累的误差也愈大;经纬仪因校正或整置的不完善而使所测角度产生误差;等等。这些都是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的系统误差。又如,用钢尺量距时的温度与检定尺长时的温度不一致,而使所测的距离产生误差; 返回目录,测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等,这些都是由于外界条件所引起的系统误差。此外,如某些观测者在照准目标时,总是习惯于把望远镜十字丝对准目标中央的某一侧,也会使观测结果带有系统误差。 二 偶然误差 在相同的观测条件下一系列的观测,如果误差在大小和符号上都表现出偶然性,即从单个误差看,该列误差的大小和符号没有规律性,但就大量误差的总体而言,具有一定的统计规律,这种误
7、差称为偶然误差。 例如,在用经纬仪测角时,测角误差是由照准误差、读数误差、外界条件变化所引起的误差、仪器本身不完善而引起的误码差等综合的结果。而其中每项误差又是由许多偶然(随机)因素所引起的小误差的代数和。例如照准误差可能是由于脚架或觇标的晃动或扭转、风力风向的变化、目标的背景、大气折光和大气透明度等等偶然因素影响而产生的小误差的代数和。 返回目录,因此,测角误差实际上是许许多多微小误差项的总和,而每项微小误差又随着偶然因素影响的不断变化,其数值忽大忽小,其符号或正或负,这样,由它们所构成的总和,就某个体而言,无论是数值的大小或符号的正负都是不能事先预知的,因此,把这种性质的误差称为偶然误差。
8、根据概率统计理论知,如果各个误差项对其总和的影响都是均匀地小,即其中没有一项比其它项的影响占绝对优势时,那么它们的总和将是服从或近似地服从正态分布的随机变量。因此,偶然误差就其总体而言,都具有一定统计规律,故有时又把偶然误差称为随机误差。 三 粗差 粗差是一种大量级的观测误差,它是测量上的失误。在测量成果中,是不允许粗差存在的。粗差产生的原因较多,主要是作业员的疏忽大意、失职而引起的,如大数被读错、读数被记录员记错、照准了错误的目标、在航测象片上选错了控制点的影象等。 返回目录,在观测数据中应尽可能设法避免出现粗差。行之有效 的发现粗差的方法有:进行必要的重复现测;通过多余观 测, 采用必要而
9、又严格的检核、验算等方式均可发现粗差。国家的测绘机构制定的各类测量规范和细则,一般也能起到防止粗差出现和发现粗差的作用。 含有粗差的观测值都不能采用。因此,一但发现粗差,该观测值必须舍弃或重测。尽管我们十分小心谨慎,粗差有时仍然在所难免。因此,如何在大量的观测数据中发现和剔除粗差,或在数据处理中削弱含粗差的观测值对平差计算成果的影响,乃是测绘界十分关注的课题之一。 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。 当观测值中有显著的系统误差时,偶然误差就居于次要地位,观测误差就呈现出系统的性质。反之,则呈现出偶然的性质。系统误差对于观测结果的影响一般具有累积的作用,它对成果质量的影响也特别显著。
10、 返回目录,在实际工作中,应该采用各种方法来消除系统误差,或者减小其对观测成果的影响,达到实际上可以忽略不计的程度。例如,在进行水准测量时,使前后视距相等,以消除由于视准轴不平行于水准轴对观测高差所引起的系统误差;对量距用的钢尺预先进行检定,求出尺长误差的大小,对所量的距离进行尺长改正,以消除由于尺长误差对量距所引起的系统误差等等,都是消除系统误差的方法。 当观测值中已经排除了系统误差的影响,或者与偶然误差相比已处于次要地位,则该观测值中主要是存在着偶然误差。这样的观测值,就称为带有偶然误差的观测值。这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变量,如何处理这些随机变量,是测量平差这一学科所要研究的
11、内容。 由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响,因此,在实际工作中,为了提高成果的质量,同时也为了检查和及时发现观测值中有无粗差存在,通常要使观测值的个数多于未知量的个数,也就是要进行多余观测。 返回目录,例如,对一条导线边,丈量一次就可得出其长度,但实际上总要丈量两次或两次以上;一个平面三角形,只需要观测其中的两个内角,即可决定它的形状,但通常是观测三个内角。 由于偶然误差的存在,通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致,或不符合应有关系而产生的不符值。因此,必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理,使得消除不符值后的结果,可以认为是观测量的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是
12、一些随机变量,因此,可以根据概率统计的方法来求出观测量的最可靠结果,这就是测量平差的一个主要任务。 测量平差的另一项任务,就是评定观测值及其函数的最可靠结果的精度,也就是考核测量结果的质量。人们把这一数据处理的整个过程叫做“测量平差”。概括起来讲,测量平差有两大任务:一是通过数据处理求待定量的最佳估值;二是评估观测成果的质量。 返回目录,第二节 偶然误差的统计性质,任何一个观测量,客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数。这一数值就称为该观测量的真值。从概率和数理统计的观点看,当观测量仅含偶然误差时,其数学期望也就是它的真值。 设进行了n次观测,其观测值为L1、L2、Ln,假定观测量的真值为
13、、 、 ,由于各观测值都带有一定的误差,因此,每一观测值Li与其真值或E(Li)之间必存在一差数,设为 (1-1) 式中 称为真误差,有时简称为误差。 返回目录,若记 则有 (1-2) 如果以被观测量的数学期望 表示其真值,则 (1-3) 测量平差中所要处理的观测值是假定不包含系统误差和粗差的,因此这里的仅仅是指偶然误差。人们从无数的测量实践中发现,在相同的观测条件下,大量偶然误差的分布表现出一定的统计规律性,那就是它服从正态分布。下面通过实例来说明这种规律性。 返回目录,在某测区,在相同的条件下,独立地观测了358个三角形的全部内角,由于观测值带有误差,故三角观测值之和不等于其真值180,根
14、据(1-1)式,各个三角形内角和的真误差可由下式算出: 式中(L1+ L2+ L3)i表示各三角形内角和的观测值。 现取误差区间的间隔d为0.22,将一组误差按其正负号与误差值的大小排列;统计误差出现在各区间内的个数,以及“误差出现在某个区间内”这一事件的频率(此处n=358),其结果列于表1-1中。 返回目录,表 1-1,返回目录,从表1-1中可以看出,误差的分布情况具有以下性质:(1)误差的绝对值有一定的限值; (2)绝对值较小的误差比绝对值较大的误差; (3)绝对值相等的正负误差的个数相近。 为了便于以后对误差分布互相比较,下面对另一测区的421个三角形内角和的一组真误差,按上述方法作了
15、统计,其结果列于表1-2 表1-2中所列的421个真误差,尽管其观测条件不同于表1-1中的真误差,但从表中可以看出;愈接近于零误差的区间,其频率愈大;随着离开零误差愈来愈远,其频率亦逐渐递减;且出现在正负误差区间内的频率基本上相等。因而,表1-2的误差分布情况与表1-1内误差分布的情况具有相同的性质。 返回目录,表 1-2,返回目录,误差分布的情况,除了采用上述误差分布的形式表达外,还可以利用图形来表达。例如,以横坐标表示误差的大小,纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值,即 (此处间隔值均取d=0.22) 分别根据表1-1和图1-1。可见,此时图中每一误差区间上的长方条面积就代表误
16、差出现在该区间内的频率。例如,图1-1中画出斜线的长方条面积,就是代表误差出现在0.00+0.20区间内的频率0.128。这种图通常称为直方图,它形象地表示了误差的分布情况。 返回目录,由此可知,在相同观测条件下所得到的一组独立观测验的误差,只要误差的总个n足够多,那么,误差出现在各区间内的频率就总是稳定在某一常数(理论频率)附近,而且当观测个数愈多时,稳定的程度也就愈大。例如,就表1-1的一组误差而言,在观测条件不变的情况下,如果再继续观测更多的三角形,则可预知,随着观测的个数愈来愈多,误差出现 在各区间内的频率,其变动的幅度也就愈来愈小,当n时,各频率也就趋于一个完全确定的数值,这就是误差
17、出现在各区间的概率。这就是说,在一定的观测条件下,对应着一种确定的误差分布。 在n的情况下,由于误差出现的频率已趋于完全稳定,如果此时把误差区间间隔无限缩小,则可想象到,图 1-1及图1-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图 1-3所示的两条光滑的曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线,或称为误差分布曲线。由此可见,偶然误差的频率分布,随着n的逐渐增大,都是以正态分布为其极限。通常也称偶然误差的频率分布为其经验分布,而将正态分布称为它们的理论分布。因此,在以后的理论研究中,都是以正态分开布作为描述偶然误差分布的数学模型,这不仅可以带来工作上的便利,而且基本上也是符合实际情况的. 返回目录
18、,通过以上讲座我们还可以进一步用概率的术语来概括偶然误差的几个特性: 1在一定的观测条件下,误差的绝对值有一定的限值,或者说,超出一定限值的误差,其出现的概率为零; 2绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大; 3绝对值相等的正负误差出现的概率相同; 4根据(1-3)式可知,偶然误差的数学期望为零,即 (1-4) 换句话说,偶然误差的理论平均值为零。 对于一系列的观测而言,不论其观测条件是好是差,也不论是对同一个量还是对不同量进行观测,只要这些观测是在相同的条件下独立进行的,则所产生的一组偶然误差必然具有上述的四个特性。 返回目录,图1-1和图1-2中各长方条的纵坐标为,其面积即为误差出
19、现在该区内的频率。如果将这个结果提到理论上来讨论,则以理论分布取代经验分布(1-3),此时,图1-1和图1-2中各长方条的纵坐标就是的密度函数f(),而长方条的面积为f()d,即代表误差出现在该区间内的概率, 即 P()=f()d (1-5) 顾及(1-4)式,可写出的概率密度式为 (1-6) 式中 为中误差。当上式中的参数确定后,即可画出它所对应误差分布曲线。由于E()=0,所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时,曲线的位置不变,但分布曲线的开头将发生变化。例如,图1-3中就是表示 不相等时的两条曲线。上述讲座可知,偶然误差是服从 N(0, )分布的随机变量。 返回目录,第三节
20、 衡量精度的指标,测量平差的主要任务之一,就是评定测量成果的精度。如何正确理解“精度”的含义以及怎样衡量精度的高低?这是本节所要讨论的主要内容。 一 方差和中误差 二 其它精度指标 三 权与协因数 四 精度与准确度 返回目录,为了阐述精度的含义,先分析上节中的两个实例。图1-1和图1-2分别是在不同的观测条件下所测得的两组误差的频率分布图(直方图),图中每个长方条的面积就是误差出现时于该区间内的频率。频率的大小见表1-1及表1-2中的数值。 不难理解,如果将表1-1中0.00-0.20和 0.00+0.20这两个区间的频率相加,即得-0.20+0.20区间内的频率为0.254。如果按此法进行累
21、计,则知误差出现于-0.60+0.60区间内的频率为0.665。这就是说,在表1-1的这组误差中,出现于-0.60+0.60区间以内的误差占误差总数的66.5%;而出现在这一区间以外的误差,即绝对值大于0.6误差,其频率为1-0.665=0.335,即占误差总数的33.5%。如果对表1-2的那组误差也如此累计,即知出现在-0.60+0.60区间内的频率为0.492,而出现于这一区间以外的频率为1-0.492=0.508。这就是说,出现于-0.60+0.60这一区间之内和区间之外的误差,各占误差总数的49.2%和50.8%。 上述数字说明了,表1-1中的误差更集中于零附近,因此可以说这一组误差分
22、布得为密集,或者说它的离散度小;相对而言,可以说表1-2中的误差分布得较为离散或者说它的离散度大。 返回目录 返回本节,从直方图来看,误差分布较为密集的图1-1,其图形在纵轴附近的顶峰则较高,且由各长方条所构成的阶梯比较陡峭;而误差分布较为分散的图1-2,在纵轴附近的顶峰则较低,且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线(图1-3)的形态上,即误差分布曲线(I)较高而陡峭,误差分布曲线()则较而平缓。在一定的观测条件下进行的一组观测,它对应着一种确定的误差分布。不难理解,如果分布较为密集,即离散度较小时,则表示该组观测质量较好,也就是说,这一级观测精度较高;反之,如果分布较为离散,即离散
23、较大时,则表示该组观测质量较差,也就是说,这一组观测精度较低。 因此,所谓精度,就是指误差分布的密集世界形势离散的程度,也就是指离散度的大小。假如两组观测成果的误差分布相同,便是两组观测成果的精度相同;反之,若误差分布不同,则精度也就不同。 在相同的观测条件下所进行的一组观测,由于它们对应着同一种误差分布,因此,对于这一组中的每一个观测值,都称为是同精度观测值。 返回目录 返回本节,例如,表1-1中所列的358个观测结果是在相同观测条件下测得的,各个结果的真误差彼此并不相等,有的甚至相差很大(例如有的出现于0.00-0.20区间,有的出现于0.40-1.60区间),但是,由于它们所对应的误差分
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- 测绘课件 【测绘课件】第一章 观测误差与传播律 测绘 课件 第一章 观测 误差 传播
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