仿射变换和保距变换教学课件.ppt
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1、仿射变换和保距变换,胡努春 浙江师范大学数学系 http:/ 陈志杰 高等代数与解析几何(第二版)(华师大),全等与相似,全等 相似,透视图法(建筑、绘画),张顺燕数学的美与理,中心投影,平行投影,张景中:数学家的眼光,数学与哲学,欧氏几何, 仿射几何,射影几何,平移,旋转 镜面反射(全等),保持共线性、平行性和简比, 但长度、角度改变,保持共线性和交比,但平行性改变,平行投影,中心投影,保持长度(距离),角度 位置,只是位置发生变化,(中心在无穷远点),知识要点(5.1-5.4)(综合法,解析法),平面的仿射(保距)变换 仿射(保距)变换基本定理 仿射(保距)变换的坐标表示 仿射(度量)性质
2、 仿射(度量)分类 射影变换?,映射与变换(P:175),定义:设X与Y是两个集合,对X中任一元素x,按某一法则在Y中有唯一的元素y与之对应,则称此法则(即对应关系)为X到Y的一个映射。 函数,泛函,算子,变换,像,原像,复合映射,单射,满射,一一映射(可逆映射),一一变换(可逆变换),恒等变换,平面上的变换群(P:177),平移(P:176例5.1.1),旋转(P:176例5.1.2),反射(P:177例5.1.3) 伸缩变换(P:177例5.1.4),位似(相似)变换(P:184例5.3.1), 错切变换(P:185例5.3.2) 定义:一个集合G,如果它的元素都是平面上的可逆变换且满足:
3、 (1)G中任何元素的逆也在G中, (2)G中任何两个元素的复合也在G中, 则称G是平面上的一个变换群 平移全体是变换群,但旋转全体不是变换群(中心不同),保距变换(点变换)(P:178),定义:平面上的一个变换f如果满足:对平面上的任意两点A,B,总有: d(f(A),f(B)=d(A,B) 则称f是平面上的一个保距变换。 平移,旋转(刚体运动),反射都是保距离变换(反之保距变换即为平移,旋转,反射的组合 P:182 Th5.2.3) 保距变换是可逆变换,且其逆变换也是保距变换(P:179 Prop5.2.2)(保距变换群) 保距变换把直线变为直线,并保持距离与角度(P:179 Prop5.
4、2.1)(全等) 注:弯曲空间的保距映射保持曲面的高斯曲率(绝妙定理,在微分几何和广义相对论中居于中心地位,内蕴微分几何),仿射变换(点变换)(P:184),定义:平面上的一个可逆变换,如果把共线点组变为共线点组,则称为平面的一个仿射变换。(几何角度) (与书本定义等价(代数角度) 伸缩变换(P:184例5.3.1),位似变换(P:184例5.3.1), 错切变换(P:185例5.3.2) 仿射变换可分解为保距变换和伸缩变换的组合 (P:192定理5.3.2) 仿射变换把直线变为直线,并保持直线的平行性(P:185 Prop5.3.1)(仿射变换群) 保距变换是仿射变换,仿射变换(几何)决定的
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