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1、二次函数的几种解析及求法,吉水进士学校 杨锦彪,思想方法,一般式,顶点式,二次函数的几种解析式及求法,前 言,二次函数解析式,二次函数是初中代数的重要内容之一,也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活,既有填空题、选择题,又有解答题,而且常与方程、几何、三角等综合在一起,出现在压轴题之中。 因此,熟练掌握二次函数的相关知识,会灵活运用一般式、顶点式、求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。,一、二次函数常用的几种解析式的确定,已知抛物线上三点的坐标,通常选择一般式。,1、一般式,2、顶点式,二、求二次函数解析式的思想方法,1、 求二次函数解析式的常用方法:,2、求二次函数解析式的
2、 常用思想:,3、二次函数解析式的最终形式:,待定系数法、配方法、数形结合等。,转化思想 : 解方程或方程组,无论采用哪一种解析式求解,最后结果最好化为一般式。,例1、已知二次函数 的图像如图所示, 求其解析式。,解法一: 一般式,设解析式为,顶点C(1,4),,对称轴 x=1.,A(-1,0)与 B关于 x=1对称,,B(3,0)。,A(-1,0)、B(3,0)和 C(1,4)在抛物线上,,即:,三、应用举例,例1、已知二次函数 的图像如图所示, 求其解析式。,解法二:顶点式,设解析式为,顶点C(1,4),又A(-1,0)在抛物线上,, a = -1,即:, h=1, k=4.,三、应用举例
3、,解法三:交点式,设解析式为,抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B(3,0), y = a (x+1) (x- 3),又 C(1,4)在抛物线上, 4 = a (1+1) (1-3), a = -1, y = - ( x+1) (x-3),即:,例1、已知二次函数 的图像如图所示, 求其解析式。,三、应用举例,评析:,刚才采用一般式、顶点式和交点式求解,通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力,从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练,可事半功倍。,2007年中考数学命题趋势,贴近学生生活,联系实际
4、,把实际问题转化为数学模型,培养学生分析问题、解决问题的能力,增强学以致用的意识。,例2、已知:如图,是某一抛物线形拱形桥,拱桥底面宽度OB是12米,当水位是2米时,测得水面宽度AC是8米。 (1)求拱桥所在抛物线的解析式;(2)当水位是2.5米时,高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度)。,三、应用举例,E,F,解:(1)、由图可知:四边形ACBO是等腰梯形,过A、C作OB的垂线,垂足为E、F点。, OE = BF =(12-8)2 = 2。,O(0,0),B(-12,0),A(-2,2)。,设解析式为,三、应用举例,例2、已知:如图,是某一抛物线
5、形拱形桥,拱桥底面宽度OB是12米,当水位是2米时,测得水面宽度AC是8米。 (1)求拱桥所在抛物线的解析式;(2)当水位是2.5米时,高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度)。,P,Q,(2)、分析:船能否通过,只要看船在拱桥正中间时,船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。,y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 3.6,解: ,顶点(-6,3.6),当水位为2.5米时,, 船不能通过拱桥。,PQ是对称轴。,例3、将抛物线 向左平移4个单位,再向下平移3个单位,求平移后所得抛物线的解析式。,解法:将二次函数的解析式,转化为顶点式得:,(1
6、)、由 向左平移4个单位得:,(左加右减),(2)、再将 向下平移3个单位得,(上加下减),即:所求的解析式为,三、应用举例,1、已知二次函数的图像过原点,当x=1时,y有最小值为 -1,求其解析式。,四、尝试练习,解:设二次函数的解析式为, x = 1, y= -1 , 顶点(1,-1)。,又(0,0)在抛物线上,, a = 1,即:,2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为(-1,0),(1,0),点(0,1)在图像上,求其解析式。,解:设所求的解析式为,四、尝试练习,3、如图;有一个抛物线形的隧道桥拱,这个桥拱的最大高度为3.6m,跨度为7.2m一辆卡车车高3米,宽1.6米,它能否通过隧道?
7、,四、尝试练习,即当x= OC=1.62=0.8米时,过C点作CDAB交抛物线于D点,若y=CD3米,则卡车可以通过。,分析:卡车能否通过,只要看卡车在隧道正中间时,其车高3米是否超过其位置的拱高。,四、尝试练习,3、如图;有一个抛物线形的隧道桥拱,这个桥拱的最大高度为3.6m,跨度为7.2m一辆卡车车高3米,宽1.6米,它能否通过隧道?,解:由图知:AB=7.2米,OP=3.6米,A(-3.6,0), B(3.6,0),P(0,3.6)。,又P(0,3.6)在图像上,,当x=OC=0.8时,,卡车能通过这个隧道。,四、尝试练习,4、将二次函数 的图像向右平移1个单位,再向上平移4个单位,求其
8、解析式。,解: 二次函数解析式为,(1)、由 向右平移1个单位得:,(左加右减),(2)、再把 向上平移4个单位得:,(上加下减),即:所求的解析式为,刘炜跳投,想一想,5. 刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?,c,分析:要求出他跳离地面的高度,关键是,1.首先要求出该抛物线的函数关系式,2.由函数关系式求出C点的坐标,即求出点C 离地面的高度h, h-0.15米-
9、刘炜的身高即,他跳离地面的高度.,?,h,如图,刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?,探索:,C,y,x,o,h,解:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05),所以,设所求的抛物线为y=ax3.5,又 抛物线经过点B(1.5,3.05),得,a=-0.2,即所求抛物线为y=-0.2x3.5,当x=-2.5时,代入得y=
10、2.25 又2.25-1.9-0.15=0.2m,所以,他跳离地面的高度为0.2m,6:有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面A B的宽为20m,如果水位上升3米时,水面CD的宽为10m,(2)求此抛物线的解析式;,(3)现有一辆载有救援物质的货车,从甲出发需经此桥开往乙,已知甲距此桥 280km(桥长忽略不计)货车以 40kmh的速度开往乙;当行驶1小时,忽然接到通知,前方连降暴雨,造成水位以每小时025m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位到达最高点E时,禁止车辆通行)试问:如果货车按原速行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由,若不能,要使货车安全通过此桥,速度应不小于每小时
11、多少千米?,6:有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面A B的宽为20m,如果水位上升3米时,水面CD的宽为10m,解:(1)B(10,0),D(5,3),(2)设抛物线的函数解析式为,由题意可得:,解得:,抛物线的函数解析式为:,设货车速度为x kmh,能安全通过此桥.,则4x+40280 解得x60,故速度不小于60kmh,货车能安全通过此桥。,(4)现有一艘载有救援物质的货船,从甲出发需经此桥开往乙,已知甲距此桥 280km,货船以 40kmh的速度开往乙;当行驶1小时,忽然接到通知,前方连降暴雨,造成水位以每小时025m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在AB处,当水位到达CD时,禁止船只通行)试问:如果货船按原速行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由,若不能,要使货船安全通过此桥,速度应不小于每小时多少千米?,6:有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面A B的宽为20m,如果水位上升3米时,水面CD的宽为10m,
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