二重积分的存在条件.ppt
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1、1 二重积分概念,二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多.,一、平面图形的面积,二、二重积分的定义及其存在性,三、二重积分的性质,返回,一、平面图形的面积,我们首先定义平面图形的面积. 所谓一个平面图形,P 是有界的, 是指构成这个平面图形的点集是平面,上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得,设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一,组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T,将所有属于第(i) 类小矩形,(图 21-1 中紫色部分)的面,积加起来
2、,记这个和数为,形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (ii) 类小矩形的,面积加起来(图 21-1中着色部分),记这个和数为,则有,由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,显然有,定理21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:,可证得,于是由(3)可得,从而对直线网 T 有,积.,推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它,使得,定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:,P 的边界 K 的面积为零.,证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给,为零.,的图象, 则曲线 K 的面积为零.,,,高的小矩形所覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的
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