第一节导数的概念及运算.ppt
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1、第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地,切线方程为 .,3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的 而 ,因而也是自变量x的函数,该函数称为 f(x)的导函数,记作 .,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4. 基本初等函数的导数公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 导数运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)Cf(x)= (C为常数); (3)f(x)
2、g(x)= ;,f(x)g(x),Cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数 【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值. 分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解. 解 当x无限趋近于0时, 趋近于2,y|x=1=2. 学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形,若求f(x)在开区间(a,b)内的导数,只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三 1. 已知 ,利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数 【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.
3、,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),举一反三 2. 求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用 【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度; (2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第(1)问可利用公式 求解;第(2)问可利用第(1)问的结论求解,也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)方法一(定义法): 质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二(求导法): 质
4、点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时,v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的,所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说,其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数,速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数,这是导数的物理意义,利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三 3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体,t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析: 物体在 时刻的瞬时速度为 .,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用 【
5、例4】(14分) 已知曲线 (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.,分析 (1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率 k=f(2). (2)过点P的切线,点P不一定是切点,需要设出切点坐标.,解 (1)y=x2,2 在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4,3 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点P(2,4)的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为 即 点P(2,4)在切线上, 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0
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