第一讲有限元绪论.ppt
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1、有 限 元 分 析,雷 刚,重庆工学院汽车工程学院,绪 论,一、有限元方法简介 有限元方法也叫“有限单元法”或“有限元素法”,英文是:“Finite Element Method”。这种方法最初起源于结构分析,由结构力学的位移法发展而来。 1956年美国航空工程师Turner和Clough为分析飞机结构,将结构力学的矩阵位移法原理推广到弹性力学的平面问题,获得巨大成功,分析结果与实验数据非常吻合。之后Clough又用这种方法处理了一些复杂的平面弹性力学问题并于1960年首次提出“有限单元法”这个名词。 有限元的基本思想就是分片逼近 。,例如:要计算以下定积分,从定积分的定义出发,可以将曲线分成
2、若干小段,用若干矩形面积之和作为近似解,如果在小段内用简单函数逼近曲线,在有限范围内结果精度可以得到显著提高。,早期的有限元法是建立在虚位移原理或最小势能原理基础上的,这对于人们理解有限元法的物理概念是很有帮助的。后来一些学者又提出一些新的变分原理和广义变分原理,并相继出现一些适应性更强、计算精度更高的新型单元模型,如:应力混合单元、杂交单元、.杂交/混合单元和广义协调单元等等。 近50年来有限元方法已经有了巨大的发展,其应用领域已从单一的结构分析扩展到温度场分析、电磁场分析、流体流速场分析及声场分析等许多领域。,本课程主要介绍有限元方法在结构分析中的应用。,其分析问题的类型已从最初的线性稳态
3、问题,如:平衡问题、特征值问题等,发展到稳态响应问题、瞬态响应问题、非线性问题及多介质的耦合问题,如:振动响应问题、碰撞问题、塑性成形问题、声固偶合问题及流体与固体偶合问题等等。 随着力学理论、计算数学和计算机技术等相关学科的发展,有限元理论也得到不断完善,成为工程分析中应用十分广泛的数值分析工具,特别是在现代机械工程、车辆工程、航空航天工程、土建工程中发挥着越来越大的作用,是现代CAE技术的核心内容之一。,二、 有限单元法的概念,有限单元法的发展历史: 弹性力学扩大了材料力学分析问题的范围,提高了解题的精度。但仅仅在少数一些较简单的经典问题上,能获得较为精确而实用的解答。由于复杂的数学运算;
4、或难以确定简单合理的数学模型,对于大量的工程实际问题往往难以解决。 计算机的出现引起了力学学科的变革。采用力学分析的解析法不能解决的问题,应用数值法(以计算机为工具)可以求出近似解。有限单元法是广泛应用的一种数值法。 有限单元法的物理概念清晰,易于掌握和应用,计算速度快,精确程度高,具有灵活性和通用性,可以解决一些复杂的特殊问题,例如复杂的几何形状,任意的边界条件,不均匀的材料特性,结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构件等。近二、三十年来,广泛应用于航空、造船、土木、水利、机械工业中。,通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例:等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a) 单位杆长重量为q,杆长为L
5、,截面面积为A,弹性模数为E,材料力学方法求解直杆拉伸: 图(b)-位移法 考虑微段dx,内力 N=q (L-x) dx的伸长为 x截面上的位移: 根据几何方程求应变,物理方程求应力。这里 应变 应力,有限单元法求解直杆拉伸:,1、离散化,2、外载荷集中到结点上,即把投影部分的重量作用在结点i上,有限单元法求解直杆拉伸:,3、假设线单元上的位移为线性函数,有限单元法求解直杆拉伸:,4、以i结点为对象,列力的平衡方程 令 将位移和内力的关系代入得,用结点位移表示的平衡方程,其中i=1,2, n有n个方程 未知数也有n个,解方程组,得出结点位移,进而计算应力,有限单元法求解直杆拉伸:,假设线单元数
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