多元函数极值.ppt
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1、多元函数的极值,一、多元函数极值的概念,二、最值问题,三、条件极值,第九章,第八节,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,说明,(1)函数的极值点必须是函数定义域的内点.,(2)极值的概念可以推广到一般的多元函数.,例1,例2,例3,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值
2、,则有,存在,故,处的切平面方程为,由可微函数取极值的必要条件:,此时, 切平面平行于 xy 平面.,下面看看函数极值的几何意义,故切平面方程实际为,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明见 第九节(P122) .,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,例4.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏
3、导数,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,极值点和驻点的关系,(1)极值点可能是驻点,(2)极值点可能不是驻点,(3)驻点不一定是极值点,例1,先求开区域内的极值,再求区域边界上的极值,从中选取最值.,提示与分析:,2005年考研,解,唯一驻点,例2.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时
4、, 水箱所用材料最省.,例3. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满
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