定积分的进一步应用.ppt
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1、,3.4 定积分的进一步应用,3.4.1 平面图形的面积 3.4.2 立体的体积 3.4.3 平面曲线的弧长 3.4.4 变力沿直线所作的功 3.4.5 压力 3.4.6 引力 3.4.7 函数的平均值,3.4.1 平面图形的面积,一、不规则图形的面积 二、 进一步练习,一般地,求由区间a,b上的连续曲线y=f(x)、y=g(x),以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积,,如图所示,用微元法分析如下,(1) 任意一个小区间,窄条为面积dS可以用底宽为dx,,面积来近似计算,即面积微元为,上积分,得该平面图形的面积,练习1 窗户面积,某一窗户的顶部设计为弓形,上方曲线为一抛物线,下方为直线,
2、如图所示,求此弓形的面积,建立直角坐标系如图所示,解,所以,即抛物线方程为,所围成图形的面积,面积微元为,面积为,(m),所以窗户的面积为0.683m2,练习2 游泳池的表面面积,一个工程师正用CAD(computer-assisted desigen计算机辅助设计)设计一游泳池,游泳池的表面是,的图形,如图所示,求此游泳池的表面面积,解,解联立方程组,得两条曲线的左交点(0,0),右交点的横坐标,此游泳池的表面面积为,= 77.26(m),大于8于是,面积微元为,3.4.2 立体的体积,一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积 三、 进一步练习,设一立体位于平面 x=a、x=b(
3、ab)如图所示.任意一个垂直于x轴的平面截此物体所得的截面面积为,A(x),A(x)是a,b上的连续函数该立体介于区间,之间的薄片的体积微元dV.,可用底面积 A(x) 、高为 dx,的柱形薄片的体积近似计算,,从而体积微元为,将其在区间a,b上积分,得到该立体的体积,(1) 平面图形绕x轴旋转所成的立体的体积,由连续曲线y=f (x)、直线 x=a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体,如图所示,它被任意一个垂直于x轴的平面所截,得到的截面为,以f(x)为半径的圆,其面积为,故所求旋转体的体积为,(2) 绕y轴旋转所成的立体的体积,y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转
4、一周而成的旋转体的体积为,练习1 喇叭体积,的图形绕x轴旋转所成的旋转体,如图所示,求此旋转体的体积,解,在0,1上任取一点x,此旋转体的体积微元可近似,地视为以f (x)为半径的圆为底(即以面积为,的圆为底)的柱体,从而体积微元为,所求旋转体的体积V为,练习2 机器底座的体积,某人正在用计算机设计一台机器的底座,它在第一,底座由此图形绕y轴旋转一周而成,如图所示,试求此底座的体积,解,以及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的,所求体积为,旋转体体积微元为,3.4.3 平面曲线的弧长,一、弧长的计算 二、 进一步练习,曲线y=f(x)相应于 a,b上的任一微小区间,的长度ds来近似代替,,所
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