第一部分函数的极限与连续教学课件.ppt
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1、第一章 函数的极限与连续 本章主要内容 1.1 函数的概念 1.2 函数的特性 1.3 反函数 1.4 基本初等函数 1.5 复合函数、初等函数 *1.6 函数关系应用举例 2 本章主要内容 1.7 数列的极限 1.8 函数的极限 1.9 无穷小量与无穷大量 1.10 极限的运算法则 1.11 两个重要极限 1.12 函数的连续性 3 学习目标 理解函数的概念、函数的特性;了解反函数、基本初等函 数、复合函数、初等函数、分段函数的概念; 了解数列与函数极限的描述性定义;左、右极限的概念; 无穷小、无穷大的概念及相互的关系与性质;对无穷小进行 比较; 掌握极限四则运算法则;应用两个重要极限求极限
2、;无穷 小的性质;函数在一点连续的概念;初等函数的连续性;闭 区间上连续函数的性质;间断点的类型;求连续函数和分段 函数的极限. 4 1.1 函数的概念 1. 常量与变量 在自然现象或科学试验等过程中,经常会遇到两种不同的 量:一种量在过程中不发生变化而保持一定的数值,这种量 称为常量(或常数);另一种量在过程中可以取不同的数值,这 种量称为变量.如冰化成水的过程中,所吸收的热量、与温度 、时间等是变量。通常用字母,b,c等表示常量,用字母x ,y,z等表示变量 5 2. 区间与邻域 对于某个实际问题来说,一个变量只能在一定的范围内取 值变量的取值范围通常用区间表示区间分为闭区间、开 区间、半
3、开半闭区间、无穷区间等。 6 7 在区间定义的基础上,如图,我们把开区间(- ,+)(0)叫作点的邻域,叫作邻域的中心,叫作邻 域的半径 8 3函数的概念 定义1 设x,y是两个变量,D是一个实数集如果对于D内 的每一个数x,按照某个对应法则,变量y都有唯一确定的数 值和它对应,则称y是x的函数,记作.x叫作自变量,y叫作因 变量,或者函数值,实数集D叫作这个函数的定义域. 当取数值时,与相对应的的值叫作函数在点处的函数值, 记作或.函数所有函数值的集合叫作函数的值域 9 求 例3 求下列函数的定义域. (1)(2)y= (1) 所以定义域为 解 例2 设函数 10 解 (2)要使函数有意义义
4、,必须须同时满时满 足:分母 不为为零且偶次根式的被开方式非负负,反正弦函 数符号内的式子绝对值绝对值 小于或等于1。 解出 故不等式组的解为 . 因此,该函数的定义域为 11 例4 已知函数 的定义域是 求 的定义域 例5 判断下列各对函数是否相同. (1) (2) 12 求函数的定义域时应遵守以下原则: (1) 代数式中分母不能为零; (2) 偶次根式内表达式非负; (3) 对数中真数表达式大于零; (4) 反三角函数要根据各自的定义域; (5) 两函数代数和的定义域,应是两函数定义域的公共部分; (6) 对于表示实际问题的解析式,还应该保证符合实际意义. 13 4. 函数的图像 14 两
5、个常用的函数 (1) 符号函数 1 -1 x y o 5. 分段函数 15 (2) 取整函数 y=x, x表示不超过 x 的最大整数. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 16 1.2 函数的特性 1. 函数的单调性 单调增加函数、单调减少函数、单调区间 17 例1 y xo x 18 2函数的奇偶性 定义1 y xox -x 19 定义2 20 2. 函数的奇偶性 奇函数:奇函数的图象关于原点对称. 偶函数:偶函数的图象关于y轴对称 例 判断下列函数的奇偶性 (2) (4) (1) (3) 21 3. 函数的有界性 定义3 22 4
6、. 函数的周期性 定义3 23 定义 1.3 反函数 24 反函数存在定理 定理 25 1.4 基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数,这些都是实际生活中常用的函数,我们 把这五类函数统称为基本初等函数 26 1、幂函数 27 2、指数函数 28 3、对数函数 29 4、三角函数 正弦函数 30 余弦函数 31 正切函数余切函数 32 5. 反三角函数 定义1 单调增加、有界、奇函数 33 例1 求下列各式的值: 解 34 一般地,由反正弦函数的定义,可以得到 例2求下列各式的值: 解 35 定义2 单调减少、有界函数 36 例3 求下列各式的值: 解 一般地,由反余
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