对坐标曲线积分.ppt
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1、第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十一章 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点B, 求移 “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线AB所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分能解决变力沿直线所作的功 1) “大化小”. 2) “常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有
2、 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和” 4) “取极限” (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为空间曲线弧 , 记 称为对坐标x 的曲线积分 ;
3、称为对坐标y 的曲线积分. 若记, 对坐标的曲线积分也可写作 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则 则 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 对封闭曲线,正向规定如下:沿曲线行走,区域总 在其左边。 二、对坐标的曲线积分的计算法 证明: 下面先证 定理:在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设分点 根据定义 由于
4、对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 特别是, 如果 L 的方程为 则 对空间光滑曲线弧 :类似有 定理 目录 上页 下页 返回 结束 对应起点与终点 例1. 计算其中L 为沿抛物线 解法1 取 x 为参数, 则 解法2 取 y 为参数, 则 从点 的一段. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为则 则 机动 目录 上页 下页
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- 坐标 曲线 积分
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