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1、弹性压杆的临界荷载,重 点:稳定方程的建立 边界条件的提出 等效为单个压杆 难 点:稳定方程的建立 边界条件的提出 刚度系数的确定,本节内容提要,弹性压杆的临界荷载,一、基本假设,1. 理想的中心受压直杆,2. 材料在弹性范围内,服从虎克定律,3. 屈曲变形微小,,二、材料力学中的结果,推导欧拉公式,已知,,下端铰为什么没有水平约束力?,方程的解:,A、B 为待定系数,与边界条件有关。,代入方程,得:,(n=1,2,3,.,)n=1时得:,三、简单刚架等效为压杆稳定的简化分析方法,例3,或,例5,四、弹性压杆的稳定方程,临界荷载,例题1 上端无转角但可侧移,弹簧铰刚度KM ,杆的刚度为EI,杆
2、长L,求临界荷载。,解:建立图示坐标系,设A端转角为,x处的挠度y,B端的侧移为,取x截面以下为研究对象,Mx=0 ,M(x) + KM=Py,M(x) + KM=Py, 方程通解:, 边界条件:,)当x=0时,y=0,得:,)当x=0时, ,得:Bk=,)当x=L时, ,得:,求解稳定方程,边界条件中的A、B、有非零解,其系数行列式D=0,讨论:,当KM=时,原来结构的稳定问题就是:下端固定,上端可滑动,取n=1得:,此时压杆的长度系数为1,当KM=0时,原来结构的稳定问题就是:下端铰支,上端可滑动,取n=1得临界荷载,此时压杆的长度系数为2,例题2 求图示结构体系的稳定方程,求出临界荷载。
3、,解:设C处的水平位移,A处的转角,画出失稳模态,取x截面为力矩中心,边界条件:,解:做出失稳模态,取BC为研究对象MB=0,P=HCH 得,取x坐标以上为研究对象,Mx=0,得:,方程的特解:,方程的通解:,例题4,解:1)等效压杆如图所示,KN可由刚度法求得,KN也可由柔度法求得,2)建立稳定方程,设B处的侧移为,弹簧的约束力H=KN(向左) , A支座的水平约束力KN(向右),取x截面以下为研究对象,Mx=0,得:,3)方程的解,稳定方程,边界条件,例题5 具有三个弹簧约束的等直压杆的稳定方程。,解:失稳模态如图。上端水平位移,转角2 ;下端转角1,M1=K11 ,M2=K22 ,H=
4、K3,取整体为研究对象,MA=0,取x截面上端为研究对象,Mx=0,令,边界条件:,当x=0,,当x=L时,由 (逆时针转角),得:,-(4),(1),(2),(3),(4) 是关于A、B、2 的齐次方程组,稳定方程,讨论, K2=,K3=0时,2=0,原结构问题变为,这便是例题1,若K1=,K3=(此时=0),K2=0,则压杆变为:,以=H/K3代入(1)、(2)式中,再联合(3)得,关于A,B,H的齐次方程组,其系数行列式=0,或,直接求临界荷载,取x截面以上为研究对象,P,x,y,H,M,边界条件:,若K1=,K2=0,则压杆变为:,或,直接求临界荷载,边界条件:,C30混凝土柱受压,L
5、=8,10,12米,K3=118.6, 60.75, 35.2 kN/m,算例:,抗压标准值:1801kN,规范中轴心受压柱的正截面承载力,一般要求,以8、10米长,300*300截面柱为例,假定配置4根22钢筋,若K1=0,K2=0,压杆变为:,取下部分为研究对象,,边界条件:x=0,y=0 得:A=0,-(1),再由整体平衡:P=K3L -(3),由 sinkL=0 , 得:,称为挠曲失稳,若K2=0,K3=(此时=0),压杆变为:,或,直接求临界荷载,边界条件:,若K2=0,K3=0,压杆变为,或,直接求临界荷载,边界条件:,若K2=,K3= ,压杆变为,边界条件:,关于A,B,H,的齐次方程,K3= ,压杆变为,例题5 桥墩与刚性基础失稳时将绕C点转动,设地基抗转刚度 KM ,试建立稳定方程。,解:1)作出计算简图,2)失稳模态,取整体,MC=0 ,P=KM ,得:,取 x 截面以下为研究对象,Mx=0 ,,3)稳定方程,4)稳定方程的解:,边界条件,上式关于A、B、的方程的系数行列式D=0时发生失稳。,例题6,H,余下的问题就是例题4,例题7,练习题,1、,2、,作业:,柱和梁长都是6米,C30混凝土 求临界荷载,柱的长度系数 不考虑钢筋,规范中此柱能承受的设计 压力是多少?,
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