第五章5.ppt
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1、第五章 留数,1 孤立奇点,1. 定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未 必是孤立的。,2. 分类,以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根 据展开式的不同情况,将孤立点进行分类。考察:,特点:,没有负幂次项,特点:,只有有限多个负幂次项,特点:,有无穷多个负幂次项,定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点,在z0 的去心邻域内, 若f (z)的洛朗级数,没有负幂次项,称z=z0为可去奇点;,只有有限多个负幂次项,称z=z0为m 级极点;,有无穷多个负幂次项,称z=z0为本性奇点。,3. 性质,若z
2、0为f (z)的可去奇点,若z0为f (z)的m (m 1) 级极点,例如:,z=1为f (z)的一个三级极点, z=i为f (z)的一级极点。,若z0为f (z)的本性奇点,4. 零点与极点的关系,定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成,例如:,定理,事实上,,必要性得证!,充分性略!,例如,证明,“” 若z0为f (z)的m 级极点,定理,例,解 显然,z=i 是(1+z2)的一级零点,综合,如果函数 f (z)在无穷远点 z= 的去心邻域 R|z|内解析, 称点为 f (z)的孤立奇点.,又 .这样, 我们可把在去心邻域R|z|+对f (z)的研究变为在 内对j (w)的研究.
3、显然j (w)在 内解析, 所以w=0是孤立奇点.,5. 函数在无穷远点的性态,f(z)在z=0处洛朗展式中,不含正幂项,则z=为可去奇点; 含有限多项的正幂项且最高项为zm,则z=为m级极点; 含有无穷多项的正幂项,则z=为本性奇点。,1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则,5.2 留数(Residue),1. 留数的定义,定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点, f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数 c1 称为f (z)在 z0 的留数,记作 Res f (z), z0 或 Res f (z0)。,由留数定义, Res f (z),
4、 z0= c1 (1),2. 留数定理,定理,证明,由复合闭路定理得:,用2i 除上式两边得:,得证!,求沿闭曲线c的积分,归之为求在c中各孤立 奇点的留数。,一般求 Res f (z), z0 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内 展开成洛朗级数求系数 c1 的方法, 但如果能先知道 奇点的类型,对求留数更为有利。,以下就三类孤立奇点进行讨论:,3. 留数的计算规则,规则I,规则II,事实上,由条件,当m=1时,式(5)即为式(4).,规则III,事实上,,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故 由留数定理得:,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数,不要死套规则。,如,是f (
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