第五章刚体的转动.ppt
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1、1,第五章 刚体的转动,(Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis),2,5.1 刚体的运动,5.2 刚体的定轴转动定律,5.3 转动惯量的计算,5.4 转动定律应用举例,5.6 定轴转动中的功能关系,5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律,本章目录,3,刚体是特殊的质点系,其上各质点间的相对位置保持不变。,5.1 刚体的运动,一. 刚体(rigid body)的概念,我们把这种不能变形的物体称为刚体。,质点系的规律都可用于刚体,而且考虑到刚体的特点,规律的表示还可较一般的质点系有所简化。,显然,刚体是个理想化的模型,但是它有实际的意义。,4,的直线在运
2、动各个时刻的位置都彼此平行。,二 . 刚体的运动形式,1.平动(translation):,连接刚体内任意两点,选取参考 点O,则:,对(1)式求导:,5,刚体做平动时,它的各质元运动轨迹都一样,而且在同一时刻,它们的速度和加速度也都相等。因此可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。,2.转动(rotation):,转动也是刚体的基本运动形式之一,它又可分为定轴转动和定点转动。, 定轴转动:,圆心都在同一条固定的直线(转轴)上。,运动中各质元均做圆周运动,且各,6, 定点转动:,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。,运动中刚体上只有一点固定不动,,如陀螺。,7,3.一般运动:,刚体不受
3、任何限制的的任意运动。,它可分解为以下两种刚体的基本运动:, 随基点O(可任选)的平动, 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动,转动与基点的选取无关。,两种分解,基点选取不同,,例如:,平动可以不同,,动力学中,常选质心为基点。,转动却相同,,或,8,三 . 刚体转动的描述(运动学问题),1.定点转动(rotation about a fixed point),(1)角量的描述,为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢,和转向,引入角速度矢量,与转向成右螺旋关系。,的方向沿瞬时轴,,9,(不一定沿着瞬时轴),为反映 的变化情况,引入角加速度矢量 。,(2)线量和角量的关系,10,2.定轴转动(rotati
4、on about a fixed axis),转轴固定,,11,5.2 刚体的定轴转动定律,12,13,14,因为各质元角动量方向相同,所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加,15,16,5.3 转动惯量的计算,J 由质量对轴的分布决定。,17,例1 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,J 是可加的,所以若为薄圆筒(不计厚度)结果相同。,18,例2 求质量为m、半径为R、厚为h 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解:取半径为r 宽为dr 的薄圆环,可见,转动惯量与 h 无关。所以,实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2 。,19,例
5、3 求长为l 、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解:取如图坐标,dm=dx,同一刚体对不同的轴转动惯量不同!,20,一. 常用的几种转动惯量表示式,21,二. 计算转动惯量的几条规律,1.对同一轴J具有可叠加性,答案:,22,2.平行轴定理,刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平 行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转 轴间距离d的平方。,23,例,3.对薄平板刚体的正交轴定理,即,如图,24,例求对薄圆盘的一条直径的转动惯量,,已知圆盘,解:,思考,下图中的 Jz 如何求?,25,用求导的方法,积分加初始条件,刚体定轴转动的两类问题:,5.4 转动定律应用举例,2
6、6,已知:R = 0.2m,m =1kg,v0= 0,,h =1.5m,,滑动,,下落时间 t =3s。,求:轮对 O 轴 J =?,解:,动力学关系:,对轮:,对m:,运动学关系:,(3),(4),(1),(2),绳轮间无相对,27,(1)(4)联立解得:,分析结果:, h、m 一定,J t,, 若J = 0,得,代入数据:,正确。,合理;,此为一种用实验测转动惯量的方法。,28,例2. 一根轻绳跨过一定滑轮(滑轮 视为圆盘),绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体,m1 m2 ,滑轮的 质量为 m ,半径为 R,所受的摩擦阻 力矩为 Mr ,绳与滑轮间无相对滑动。 试求:物体的
7、加速度和绳的张力。,已知: m1,m2 ,m, R ,Mr,求:,29,解: 研究对象 m1 ,m2 ,m,建立坐标,受力分析 如图,对各隔离体写出运动方程:,对m1 :,对m2:,对m:,又:,30,联立求得:,注意:当不计滑轮的质量 及摩擦阻力时:,这便是中学所熟知的结果,问:如何求角加速度?,根据 可求得,31,例3 电风扇在开启电源后,经过 时间达到了额定转速,此时相应的角速度为 。当关闭电源后,经过 时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为J,并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量,试根据已知量推算电机的电磁力矩。,32,在 内,解:,关闭电源后, 经过 时间,结果:,33,例4 转
8、动着的飞轮的转动惯量为J,在 时角速度为 。此后飞轮经历制动过程。 阻力矩的大小与角速度的平方成正比,比 例系数为 ( 为大于零的常数)。当 时,飞轮的角加速度 从开始制 动到 所经历的时间,34,解:,(1)当 时,飞轮的角加速 度,时,(2)从开始制动到 所经历的时间,35,设开始制动的时刻为,36,例5 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上,平板与水平桌面的摩擦系数为 ,若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 开始旋转,它将在旋转几圈后停止?,37,解:,38,作业:P286 287 5.2 5.9 5.12 5.15,39,5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律,讨
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