第五章定积分.PPT
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1、第五章 定积分,第一节 定积分的概念与性质,第二节 微积分基本公式,第三节 定积分的换元法和分部积分法,第四节 反常积分,第一节 定积分的概念与性质,三、定积分的性质,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,返回,1 曲边梯形的面积,一、定积分问题举例,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积,(四个小矩形),(九个小矩形),曲边梯形如图,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,2 变速直线运动的路程,思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,(1)分割,(
2、2)求和,(3)取极限,路程的精确值,返回,二、定积分的定义,定义,记为,注:,定理1,存在定理,定理2,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,几何意义:,例1 利用定义计算定积分,解,例2 利用定义计算定积分,解,极限运算与对数运算换序得,故,返回,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,三、定积分的性质,证,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,证,性质2,补充:不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,(定积分对于积分区间具有可加性),则,性质3,证,性质4,性质5,于是,性质5的推论:,证,(1),证,说明: 可积性是显然的.,性质5的推论:,(2),证,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,使,即,积分中值公式的几何解释:,使,返回,
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