第七章单纯形优化法.ppt
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1、第七章 单纯形优化法,发展简史 1962年,Spendley提出基本单纯形法 1965年,Nelder等提出改进单纯形法 之后,Routh提出加权形心法与控制加权形心法,7-2 基本单纯形,一、双因素基本单纯形法 如果我们有一个试验设计,只选有两个影响因素,即因素数为2。分别取值a1和a2作为试验的初点。记为A(a1,a2)。对其余两个点分别设为B和C,再设三角形的边长为a(步长)。那么B、C点就可以计算出来,假设AB、 AC、BC间距均为,等边三角形可以算出B点为: B=(a1+p, a2+q) 根据对称性可知: C=(a1+q, a2+p) 可以根据等边三角形性质解得:,a2+p,a2+q
2、,a2,a1+p,a1+q,a1,因素2,因素1,A,B,C,D,E,o,由A、B、C三点构成得单纯形称为初始单纯形 首先在A、B、C三点下分别试验,得出三个响应值,比较其大小,找出最坏响应值的点称为坏点 此处设A为坏点,去掉A点并取A的对称点D点作为新试验点,比较B、C、D三点响应值的好坏 此处设C为坏点,去点C点,取其反点E,此时C、D、E三点又构成新的单纯形 重复以上结果,最终达到优化试验的目的,二、新试验点的计算方法 以初始单纯形A、B、C为例,设A为坏点,A应该去掉,求其反射点D,此时 A(a1,a2)、B=(a1+p, a2+q)、C=(a1+q, a2+p) D=B+C-A=(a
3、1+p+q,a2+p+q) E=B+D-C=(a1+2p,a2+2q) 即:新试验点留下各点之和去掉点(9-8),三、多因素基本单纯形 设有n个因素n1个定点构成的n维空间单纯形,设有一点A=(a1, a2, a3, an),步长为a 则其余各点为: B=(a1+p,a2+q,a3+q, an+q) C=(a1+q,a2+p,a3+q, an+q) (n)=(a1+q,a2+q, an-1+p, an+q) (n+1)=(a1+q,a2+q,a3+q, an+p),其中,新点计算 新坐标点2n留下点的坐标和/n 去掉点坐标 (9-11),四、n,p,q取值对应表 由(9-8) 我们可以算出n取
4、不同值的p、q的取值,五、小结 用前面的例子,对两因素问题A、B、C构成初始单纯形,在此三点上进行试验 规则1:去掉最坏点,用其对称反射点作新试点 例A、B、C中,A为最坏点,去掉A点并取A的对称点D点作为新试验点。 D留下各点之和去掉点BCA 在B、C、D三角形中继续使用规则1,如果C为坏点,去点C点,取其反点E,此时C、D、E三点又构成新的单纯形。 如果最坏点为D那么对称点就会返回到与A重合,此时改用规则2,规则2:去掉次坏点,用其对称反射点作新试点对称计算公式与前面相同 经过反复使用后,如果有一个点老是保留下来,必须使用规则3 规则3:重复、停止和缩短步长 一般一个点劲3次单纯形后仍未被
5、淘汰,它可能是一个很好点,也可能是偶然性或试验误差导致的假象。 此时需要重复试验:结果不好,淘汰;结果已很满意则停止试验 反之则以它为起点缩短步长,继续试验,六、特殊方法 前面介绍的单纯形是正规的,任意两点间的距离一样,实际上,这个要求可以不要。尤其是由于各个因素所取的量纲不一样(例如一个因素是温度(),另一个因素是时间(秒)。即使量纲一样所取的单位也可以不一样。,(一)直角单纯形法 我们考虑双因素模型,开始不从正三角形出发,而是从一个直角三角形出发,其顶点取值如下: =(a1,a2) =(a1+p1,a2) =(a1,a2+p2) 用图表示如下,a2+p2,a2,a1+2p1,a1+p1,a
6、1,因素2,因素1,同样比较三个顶点响应值的结果,若最坏,则新点就用对称公式 =+-=(a1+p1,a2+p2) 在得到点后,再用、三点试验,比较其结果,若最坏,则取其对称点做新试验点 =+-=(a1+2p1,a2) 、构成一个新单纯形,比较其结果,若最坏,则用规则2去掉次坏点,若次坏点为,则新点 =+-=(a1+2p1,a2-p2) 如此等等,有时还会使用规则3,直至结果满意为止。,一般在任意n个因素时 =(a1, a2, a3, an) =(a1+p1,a2,a3, an) =(a1,a2+p2,a3, an) (n)=(a1,a2, an-1+pn-1, an) (n+1)=(a1,a2
7、,a3, an+pn),(二)、双水平单纯形法,7-3 改进单纯形法,为了解决优化结果精度和优化速度的矛盾,可以采用可变步长推移单纯形,此即改进单纯形法,既能加快优化速度,又能获得较好的优化精度。 改进单纯形法是1965年JANelder等提出来的,它是在基本单纯形法的基础上引入了反射、扩大、收缩与整体收缩规则,变固定步长为可变步长,较好地解决了优化速度与优化精度之间的矛盾,是各种单纯形优化法中应用最广泛的一种单纯形优化方法。,两因素单纯形的推移过程,因素1,因素2,B,A,C,D,E,O,NA,改进单纯形,ND,单纯形的整体收缩,因素1,因素2,A,B,C,C,A,在单纯形的推移过程中,新实
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