第二节偏导数.ppt
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1、9.2 偏导数,9.2.1 偏导数的概念及其计算法,例如, 二元函数 z = f (x, y), 先让 y固定 (即y 视为常数), 这时z就是 x的一元函数, z 对 x的导数,为了一元函数的变化率, 我们引入了导数的概念.,对于多元函数, 我们先考虑它关于一个自变,量的变化率.,称为二元函数 z 对 x的偏导数.,设二元函数z = f (x, y), P0(x0, y0)为平面上一点.,定义9.3,如果z = f (x, y0)在x0的某一邻域内有定义且在x0点,即极限,存在,则称此极限为函数,对x的偏导数,可导,同理,可定义函数 在点 处,对y的偏导数为,的偏导数,如果函数 z=f (x
2、, y)在区域D内任一点 (x, y) 处 对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 x、y,同理, 可以定义函数 对自变量 y,数, 简称偏导数.,的函数, 称其为函数z=f (x, y)对自变量 x 的偏导函,记作 或,记作 或,求多元函数的偏导数并不需要新的方法,利用一元函数,只需将y 看作常量,的求导法对x 求导即可.,解,例1 求 在点 处的偏导数,证,证毕,例2 设,证明,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,解,利用函数关于自变量的对称性, 有,例3 求 的偏导数,证,例4 已知理想气体的状态方程,(R 为常数), 求证:,有关偏导数的几点说明:,例,解,1. 偏导数
3、是一个整体记号, 不能拆分;,2. 分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;,按定义得,3. 偏导数存在与连续的关系,?,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续,,多元函数中在某点偏导数存在 连续,,在(0,0)处,例如, 函数,例5 研究函数 在(0,0)点的,解 因为,连续性与可导性.,所以, 函数在(0,0)点连续.,而,所以,设二元函数,在点,有,如图,为曲面,偏导数.,上的一点,过点,作平面,此平面,与曲面相交得一曲线,曲线的,方程为,由于偏导数,等于一元函数,的,导数,故由一元函数导数的几何意义,9.2.2 偏导数的几何意义,可知:,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对,x轴的斜率;,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对y轴的斜率.,例6 求曲线,在点(2,4,5)处的切线,与x轴正向所成的倾角.,解,设,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,9.2.3 高阶偏导数,函数 的二阶偏导数为,解,例7 设,求,一般地, 多元函数的高阶混合偏导数如果连,续就与求导次序无关.,如果函数,的两个二阶混合偏,在区域D内连续,定理9.1,那么在,导数,该区域内,如,问题: 混合偏导数都相等吗? 具备怎样的条件 才相等 ?,解,利用函数关于自变量的对称性,例8 验证函数 满足,拉普拉斯方程,
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