第五节全概率公式与Bayes贝叶斯公式.PPT
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1、第五节 全概率公式与 Bayes ( 贝叶斯) 公式,1. 样本空间 S 的划分 ( 或完备事件组 ),样本空间也可以被划分成无穷多个随机事件的和,定义1.5.2 如果随机事件A1,A2,An 满足: (1) AiAj = , 对所有的 i j ; (2) A1A2An = S . 则称 A1,A2,An 是样本空间 S 的一个划分。,思考 A B、B A、AB、 构成 S 的一个划分。,2. 全概率公式,假定随机事件组 A1,An 是样本空间 S 的一个划分,B 是任意的一个随机事件,则:,P (B ) = kn= 1 P (Ak ) P (B | Ak ),全概率公式,这公式也适用于对样本
2、空间的无穷划分,例1,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如图: 根据以往资料可知,中国胜美国的概率为0.4 ,中国胜日本的概率为0.9,而日本胜美国的概率为0.5,求中国得冠军的概率。,解:令H= 日本胜美国,=美国胜日本,A= 中国得冠军;,=0.5*0.9+0.5*0.4=0.65,例2, 盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,第一次比赛时,从盒中任取3个使用,用后放会盒中,第二次比赛时,再取3个使用,求第二次取出都是新球的概率.,由全概率公式便得所求的概率为,解: 令 Hi =第一次比赛时取出的3个球中有i个新球,i=0,1,2,3,A = 第二次比赛取出的3个球均为新球,P (A ) =
3、i3= 0 P (Hi) P (A | Hi ),于是有:,=0.146,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n),如果B是由原因Ai所引起,则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和,即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .,诸Ai是原因 B是结果,例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率
4、分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),则 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,依题意, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1,可求得:,为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,将数据代入计算得: P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P
5、(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题,是 “已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,某人从任一箱中任意摸出 一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得
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