第五节函数的极值与最大值最小值1.PPT
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1、第五节 函数的极值与最大值最小值,一、函数极值的定义,二、函数极值的求法,五、小结 思考题,三、最值的求法,四、应用举例,1.【定义】,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,2.【有关极值概念的几点说明】,(1)极值是一个局部性的概念.且不一定唯一.,(2)极大值不一定比极小值大,还可能相等.,(3)某区间上可能有几个极大值,几个极小 值,也可能无极值.,(4)由极值定义可知:极值只能在区间内部取得,不能在区间的端点处取得.,二、函数极值的求法,【定理1】,【定义】,【注意】,例如,(费玛引理),即:可导函数取得极值的必要条件.,()可导函数的极值点必定是它的驻点,但
2、函数的驻点却不一定是极值点.,1.可导函数取极值的必要条件,() 极值点也不一定是驻点,如 y=|x|在x=0点.,【定理2】,2.判定极值的方法,(1) 第一充分条件,函数在不可导点处也可能取得极值.,如,然而取极小值,去心邻域内可导,故可用第一充分条件(定理2)判断.,(2)【求极值的步骤】若函数f (x)在所论区间内连续,除个别点外处处可导;则,求出全部驻点与不可导点,求导数 f (x),列表考查 f (x)在这些点左右的正负号,判断极值点.,求极值,【注】,【例1】,【解】,列表讨论,极大值,极小值,【例2】,【解】,【举例】函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,【定理3】,【证】,
3、同理可证(2).,(3) 第二充分条件,由极值第一充分条件,【说明】,定理不能判别,如,但它们分别取极小值、极大值和不取极值.,此时应该用第一充分条件判别.,【例3】,【解】,图形如下,三、最值的求法,最值问题:,在工农业生产、工程技术和科学实验中,常常会遇到在一定的条件下,怎样使“成本最低”、“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题,这类问题一般可化为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。,最值定义:,函数的最大值与最小值统称为最值,使函数取得最值的点称为最值点。,最值与极值的区别:,极值是对极值点的某个邻域,最值是对整个定义区间。,极值只能在区间内取,最值可在端点或区间内取
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- 五节 函数 极值 最大值 最小值
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