第五讲估计量的优良性准则续.ppt
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1、第五讲 估计量的优良性准则(续),一、一致最小方差无偏估计(续),二、信息不等式,三、相合估计,一、一致最小方差无偏估计(续),定理4.3(Lehmann-Scheffe),无偏估计,,UMVUE,,注:,Lehmann-Scheffe定理实际上给出了两,种寻找UMVUE的方法,,(1),(2),但首先必须知,即寻找完全充分统,计量的函数使之成为 的无偏估计。,例4.5,样本。,解,首先求完全充分统计量。,由于,所以由,定理4.2可知完全充分统计量为,且是完全充分统计量 的函数,,知时, 的UMVUE为 。,故当 未,无论 是已知或未知,,注:,又,的函数,,例4.6,注:,解,由因子分解定理
2、可知,它是充分统计量。,由于,下证它也是完全的。,这个只,又因为,UMVUE。,二、信息不等式,在上一节,我们知道如果UMVUE存在,,则它在无偏估计类中是最好的,,且其方差不可,能是零,,不是无偏估计。,因为参数 的方差为零的平凡估计,那么,现在的问题是:,对 的无偏估计类 ,,(1),既然无偏估计的方差不是零,,在一定的条件下,,一个下界,,则必存在,这个下界到底是多少?,(2),若UMVUE存在,那么它的方差是否可以,达到这个下界?,问题(1)已由Cramer-Rao不等式(信息不,等式)揭示;,问题(2)不一定成立,,我们举例,予以阐述。,为了使问题简化,在这一小节中,我们仅讨,单参数
3、和连续总体情况。,对多参数及离散总体,也有相应结论,可参看高等数理统计学,(茆诗松),或线性统计推断及应用,(C.R.Rao)。,(1),(2),Cramer-Rao正则族:,分可交换次序,,即,当仅有(1)成立时,我们可以定义所谓的,Fisher 信息量(Fisher Information Number),例4.7,设总体分布是Poisson分布族,,即,则,因而,可以证,明 ,,定理4.4(Cramer-Rao or Information Inequality ),的统计量,,如果分布族是,Cramer-Rao正则族,,则对所,证明,由于对所有 ,,等式两边对求导可得,有,有,又因为对
4、所有的 ,,等式两边对求导可得,即就是,这样就有,从而有,由Schwarz Inequality,有,而,所以有,即就是,在信息不等式中,下界通过 依赖于,因它是的 数学期望,,也就是说对,不同的统计量而言,下界是变化的。,如果将此,有,特别地,,有,通常称量 为Cramer-Rao下界。,注意:(1)在以上三个不等式中,的密度函数或分布率。,通常将 看成一次观察所能获得的关于,参数 的信息,,即一个观测值 所含 的信息,,那么 就表示样本 所含 的信息。,(2),在将定理4.4应用于无偏估计类 时,,一定要注意定理的条件是否满足。,Cramer,在1946年举例说明当定理的条件不满足时,,存
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- 第五 计量 优良 准则
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