第五部分二次型教学课件.ppt
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1、第五章 二次型,5.1 二次型和对称矩阵 5.2 复数域和实数域上的二次型 5.3 正定二次型 5.4 主轴问题,我思故我在。 -笛卡儿(Rene Descartes, 1596-1650) 如果我能够看的更远,那是因为我站在巨人的肩上。 - 牛顿(Newton,16421727),5.1 二次型和对称矩阵,一.内容分布 5.1.1 二次型及矩阵 5.1.2 线性替换 5.1.3 矩阵的合同 5.1.4 二次型的标准形 二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形 三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形,5.1.1 二
2、次型及矩阵,定义1 设F是一个数域,F上n元二次齐次多项式,(1),叫做F上的一个n 元二次型。,F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函数,二次型(1)定义了一个函数 所以n 元二次型也叫n 个变量的二次型.,在(1)中令 因为 所以(1)式可以写成以下形式:,(2),是(2)式右端的系数所构成的矩阵,称为二次型 的矩阵。因为 ,所以A是F上的一个n 阶对称矩阵,利用矩阵的乘法,(2)式可以写成,(3),二次型(3)的秩指的就是矩阵A的秩。,5.1.2 线性替换,如果对二次型(3)的变量施行如下的一个变换:,(4),那么就得到一个关于 的二次型,(4)式称为变量的线性替换,令 是
3、(4)的系数据构成的矩阵,则(4)可以写成,(5),将(5)代入(3)就得到,(6),矩阵P称为线性变换(4)的矩阵。如果P是非奇异的,就称(4)是一个非奇异线性变换。因为A是对称矩阵,所以 也是对称矩阵。,推论5.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。,注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵,则推论5.1.2不成立,5.1.3 矩阵的合同,定义2 设A,B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存在F上的一个非异矩阵P,使得 那么称B与A合同。,矩阵的合同关系的性质:, 传递性:如果 B 与 A 合同,C 与 B 合同,那么C 与 A 合同。, 自反性:任意矩阵A都与自身合同,因
4、为IAI=A, 对称性:如果B与A合同,那么A也与B合同,因为由 可以得出,事实上,由 可得 合同的矩阵显然有相同的秩,并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的.,是数域F上两个n 元二次型,它们的矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线性变换将 ,则B与A 合同. 反之,设B与A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 .通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 .,F上两个二次型叫等价,如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.,定理5.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。,定理5.1.4 是数域F上的一个n阶对称矩阵。
5、总存在F上一个n阶非奇异矩阵P,使得,即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同。,证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下4.2里所定义的三种初等矩阵 容易看出,,现在对矩阵A的阶n作数学归纳法,n = 1时定理显然成立。设n 1,并且假设对于n 1阶对称矩阵来说,定理成立。 是一个n阶矩阵.如果A = O,这时A本身就是对角形式。设 ,我们分两种情形来考虑.,(a) 设A的主对角线上元素不全为零,例如, .如果i 1,那么交换A的第1列与第I 列,再交换第1行与第i行,就可以把 换到左上角。这样就相当于初等矩阵 , 再用 . 于是 的左上角的元素,这相当于用 右乘A,用,
6、左乘A。这样,总可以选取初等矩阵 ,使得,这里 是一个n 1阶的对称矩阵。,由归纳法假设,存在n 1阶可逆矩阵 使得,取,那么,这里 。,(b) 如果 . 由于AO,所以一定有某一个元素 . 把A的第 j 列加到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 右乘A . 再用 左乘A. 而经过这样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素是 . 于是由情形(b)就归结到情形(a).,注意 在定理 5.1.2的主对角形矩阵 中,主对角线上的元素 的一部分甚至全部可以是零。显然,不为零的 的个数等于A的秩,如果秩A等于r 0,那么由定理的证明过程可以知,给了数域 F 上一个n 阶对称
7、矩阵A, 由定理5.1.2的证明过程还可以看出,我们可以具体求出一个可逆矩阵P,使 有对角形式,只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时,仅对n阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换,那么当A化为对角形式时,I 就化为P。,例1 设,我们按定理5.1.2所给出的方法对A施行行和列初等变换,将A变成 ,使得 是一个对角形矩阵。同时对单位矩阵 ,施行同样的初等变换而得出P。,交换A第一列和第二列,第一行和第二行,同时交换 的第一列和第二列。这时A和 分别化为:,把 的第一列乘以2加到第三列,第一行乘以2加到第三行,同时把 的第一列乘以2加到第三列。分别得到:,把 的第四列加到第二列,第四行加到
8、第二行,同时把 和第四列加到第二列,得,以 2/3 和 1 /2 乘 的第二列依次回到第三列和第四列上, 再以 2/3 和1 /2 乘第二行依次加到第三行和第四行上,同时对 的列施行同样的初等变换。得,最后,以 3/4 乘 的第三列加到第四列上,再以3/4 乘第三行加到第四行上,并且对 的列施行同样的初等变换,我们得到,取 。于是,5.1.4 二次型的标准形,定理5.1.5 数域F上每一个n元二次型,可以通过变量的非奇异线性变换化为:,例如,以例 1 中对称矩阵A为矩阵的二次型是,通过变量的非奇异线性变换,化为,练习1 写出下列二次型的矩阵,练习2 写出对应下列方阵的二次型,例2 分别用配方法
9、和合同变换法化二次型,成标准形.,练习3 已知二次型,试对它作如下非奇异线性变换,5.2 复数域和实数域上的二次型,一.内容分布 5.2.1 复二次型的典范形 5.2.2 实二次型的典范形 二.教学目的 1掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次 型的惯性指标.、符号差等概念。 2掌握实二次型的惯性定律. 三.重点、难点: 实二次型的惯性定律.,复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.,5.2.1 复二次型的典范形,定理5. 2. 1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩.,证 显然只要证明第一个论断
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