第五部分时变电磁场教学课件.ppt
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1、第五章 时 变 电 磁 场,5.1 法拉第电磁感应定律 5.2 位移电流 5.3 麦克斯韦方程组 5.4 时变电磁场的边界条件 5.5 时变电磁场的能量与能流 5.6 正弦电磁场 5.7 波动方程 5.8 时变电磁场中的位函数,5.1 法拉第电磁感应定律,图 5-1 法拉第电磁感应定律,(5 - 1),当回路线圈不止一匝时,例如一个N匝线圈,可以把它看成是由N个一匝线圈串联而成的, 其感应电动势为,如果定义非保守感应场Eind沿闭合路径l的积分为l中的感应电动势,那么式(5 - 1)可改写为,(5 - 3),如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec,则总电场E为两者之和,即E=Ec+Ei
2、nd。但是,,所以式(5 - 3)也可改写为,引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度B随时间的变化, 也可以是闭合回路l自身的运动(大小、形状、 位置的变化)。,(5 - 4),式(5 - 4)变为,利用矢量斯托克斯(Stokes)定理,上式可写为,上式对任意面积均成立,所以,图 5-2 磁场中的运动回路,穿过该回路的磁通量的变化率为,式中B(t+t)是在时间t+t时刻由lb围住的曲面Sb上的磁感应强度,B(t)是在t时刻由la围住的曲面Sa上的磁感应强度。 若把静磁场中的磁通连续性原理SBdS=0推广到时变场,那么在时刻t+t通过封闭面S=Sa+Sb+Sc的磁通量为零,因此,
3、将B(t+t)展开成泰勒级数,有,由于侧面积Sc上的面积元dS=dlvt, 当t0 时,,因此,l由la的位置运动到lb的位置时,穿过该回路的磁通量的时变率为,这样运动回路中的感应电动势可表示为,式(5 - 14)可改写为,设静止观察者所看到的电场强度为E,那么E=E-vB。因此,运动回路中,,或,5.2 位 移 电 流,电荷守恒定律的数学描述就是电流连续性方程:,式中J是电流体密度, 它的方向就是它所在点上的正电荷流动的方向,它的大小就是在垂直于电流流动方向的单位面积上每单位时间内通过的电荷量(单位是A/m2)。因此,式(5- 18)表明,每单位时间内流出包围体积V的闭合面S的电荷量等于S面
4、内每单位时间所减少的电荷量-dQ/dt。,(5 - 18),利用散度定理(也称为高斯公式),将式(5 - 18)用体积分表示, 对静止体积有,上式对任意体积V均成立, 故有,上式是电流连续性方程的微分形式。,静态场中的安培环路定律之积分形式和微分形式为,和,此外, 对于任意矢量A, 其旋度的散度恒为零, 即,在承认,也适用于时变场的前提下,则有,由于,所以位移电流,对任意封闭曲面S有,即,穿过任意封闭面的各类电流之和恒为零,这就是全电流连续性原理。 将其应用于只有传导电流的回路中,可知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号,流入的电流取负号)。这就是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)
5、电流定律:I=0。,例 5-1 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sint,铜的电导率=5.8107S/m, 0。 解: 铜中的传导电流大小为,例5-2 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。 解: 根据麦克斯韦方程,可知,通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为,例 5 - 3 在坐标原点附近区域内,传导电流密度为,试求: (1) 通过半径r=1mm的球面的电流值; (2) 在r=1mm的球面上电荷密度的增加率; (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。,解:(1),(2) 因为,由电流连续性方程式, 得,(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率:
6、,例 5 4 在无源的自由空间中,已知磁场强度,求位移电流密度Jd。 解:无源的自由空间中J=0, 式(5 - 22)变为,5.3 麦克斯韦方程组,5.3.1 麦克斯韦方程组,如果我们假设过去或将来某一时刻,B在空间每一点上都为零,则 B在任何时刻处处为零, 所以有,5.3.2 麦克斯韦方程的辅助方程本构关系,一般而言,表征媒质宏观电磁特性的本构关系为,对于各向同性的线性媒质, 式(5 - 30)可以写为,(5 - 30),5.3.3 洛仑兹力 电荷(运动或静止)激发电磁场,电磁场反过来对电荷有作用力。当空间同时存在电场和磁场时,以恒速v运动的点电荷q所受的力为,如果电荷是连续分布的,其密度为
7、,则电荷系统所受的电磁场力密度为,上式称为洛仑兹力公式。近代物理学实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。,例5-5 证明均匀导电媒质内部,不会有永久的自由电荷分布。 解: 将J=E代入电流连续性方程,考虑到媒质均匀,有,由于,例 5 6 已知在无源的自由空间中,,其中E0、为常数,求H。 解:所谓无源,就是所研究区域内没有场源电流和电荷,即J=0, =0。,由上式可以写出:,5.4 时变电磁场的边界条件,图 5-3 法向分量边界条件,设n是分界面上任意点处的法向单位矢量;F表示该点的某一场矢量(例如D、B、),它可以分解为沿n方向和垂直于n方向的两个分量。 因为矢量恒等式,
8、所以,上式第一项沿n方向,称为法向分量;第二项垂直于n方向,切于分界面,称为切向分量。,5.4.1 一般情况,如果分界面的薄层内有自由电荷,则圆柱面内包围的总电荷为,由上面两式,得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为,或者如下的标量形式:,若分界面上没有自由面电荷, 则有,然而D=E,所以,综上可见,如果分界面上有自由面电荷,那么电位移矢量D的法向分量Dn越过分界面时不连续,有一等于面电荷密度S的突变。 如S=0,则法向分量Dn连续;但是,分界面两侧的电场强度矢量的法向分量En不连续。,磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为,或者如下的标量形式的边界条件:,由于B=H,所以,图 5
9、-4 切向分量边界条件将麦克斯韦方程,设n(由媒质 2 指向媒质 1)、l分别是l中点处分界面的法向单位矢量和切向单位矢量,b是垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系的单位矢量,三者的关系为,将麦克斯韦方程,因为 有限而h0,所以,如果分界面的薄层内有自由电流, 则在回路所围的面积上,,综合以上三式得,b是任意单位矢量,且nH与JS共面(均切于分界面), 所以,如果分界面处没有自由面电流,那么,由上式可以获得,5.4.2 两种特殊情况,矢量形式的边界条件为,它们相应的标量形式为,理想导体是指,所以在理想导体内部不存在电场。此外,在时变条件下,理想导体内部也不存在磁场。故在时变条件下,理想导体内部不
10、存在电磁场,即所有场量为零。设n是理想导体的外法向矢量,E、H、D、B为理想导体外部的电磁场,那么理想导体表面的边界条件为,例 5 - 7 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面,z0 一侧为理想导体,分界面处的磁场强度为,试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。 解:,假设t=0 时,S=0,由边界条件nD=S以及n的方向可得,例 5-8 证明在无初值的时变场条件下,法向分量的边界条件已含于切向分量的边界条件之中,即只有两个切向分量的边界条件是独立的。 因此,在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量的边界条件。 解: 在分界面两侧的媒质中,,将矢性微分算符和场矢量都分
11、解为切向分量和法向分量,即令,于是有,由上式可见:,对于媒质 1 和媒质 2 有,上面两式相减得,代入切向分量的边界条件:,有,从而有,如果t=0 时的初值B1、B2都为零,那么C=0。 故,同理,将式,中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量,并且展开取其中的法向分量, 有,此式对分界面两侧的媒质区域都成立, 故有,将两式相减并用,代入, 得,再将切向分量的边界条件,例 5 - 9 设区域(z0)的媒质参数r2=5, r2=20, 2=0。区域中的电场强度为,区域中的电场强度为,试求: (1) 常数A; (2) 磁场强度H1和H2; (3) 证明在z=0处H1和H2满足边界条件。,解:
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