棱柱问题.ppt
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1、棱柱问题,棱锥问题,复习:知识网络,底面,对角线,高,侧面,侧棱,顶点,棱柱(概念),有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。,体积VSh,返回,复习:知识网络,棱柱(分类),斜棱柱,直棱柱,正棱柱,返回,复习:知识网络,四棱柱,四棱柱,直四棱柱 侧棱垂直底面,平行六面体 底面是平行四边形,长方体,正四棱柱,正方体,侧面垂直底面,返回,要点疑点考点,一、棱柱,(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫棱柱,1.概念,(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱,底
2、面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,返回,(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;,2.性质,(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.,(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形;,要点疑点考点,3.长方体及其相关概念、性质,(1)概念:底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫长方体. 棱长都相等的长方体叫正方体.,(2)性质:设长方体的长、宽、高分别为a、b、c, 对角线长为l ,则l2=a2+b2+c2,返回,复习:知识网络,棱锥,棱锥,正四棱锥,正三棱锥,正四面体,体积VSh/3,顶点在底面正多边形的射影是底面的中心,返
3、回,复习:重要定理,三垂线定理(逆),作用:1 证明线线垂直; 2 作二面角的平面角。,一作一连法,返回,棱锥基本性质,如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比,返回,棱锥基本性质,棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形,P,C,B,D,A,Rt PEH,Rt PHB,Rt PEB,Rt BEH,返回,正棱锥,如果一个棱锥 的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥,返回,1、侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥,2、棱锥的高可以等于它
4、的一条侧棱长,3、棱锥的高一定在棱锥的内部,4、侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥,判断正误,返回,1、三条侧棱相等,2、侧棱与底面所成的角相等,3、侧面与底面所成的角相等,4、顶点P到ABC的三边距离相等,5、三条侧棱两两垂直,6、相对棱互相垂直,7、三个侧面两两垂直,外心,外心,内心,内心,垂心,垂心,垂心,返回,有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥?,有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥?,有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥?,返回,1.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( ) (A)至多只有一个是直角三角形 (B)至多只有两个是直角三角形 (C)可能都是直角三
5、角形 (D)必然都是非直角三角形,C,基础题例题,返回,2.命题: 底面是正多边形的棱锥,一定是正棱锥; 所有的侧棱的长都相等的棱锥,一定是正棱锥; 各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥,一定是正棱锥; 底面多边形内接于一个圆的棱锥,它的侧棱长都相等; 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直; 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直. 其中正确的有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)3个 (D)5个,C,基础题例题,返回,基础题例题,2.正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2 BB1,则AB1 与C1B所成角的大小是 ( ) A.60o B.90o C.105o D.75o,B,返回,3.长方体三
6、边之和为a+b+c=6,总面积为11,则 其对角线长为_;若一条对角线与二个面所成的 角为30或45,则与另一个面所成的角为 _;若一条对角线与各条棱所成的角为、 、,则sin、sin、sin的关系为_ _.,sin2+sin2+sin2=2,基础题例题,5,30,返回,设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥的中截面(过棱锥的高的中点且平行于底面的截面)的面积是多少?,S中=2,返回,过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面,它将棱锥的侧面分为三部分面积之比(自上而下)为 。,返回,过棱锥的高作两个平行于底面的截面,它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是(自上而下) 。,返回,正
7、三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积?,P,A,B,C,O,返回,正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小?,P,A,B,C,O,返回,正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小?,P,A,B,D,C,O,返回,正三棱锥的底面边长为a .侧棱与底面所成的角为60,过底面一边做一截面使其与底面成30的二面角,求此截面面积?,P,A,B,C,O,返回,已知:三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积?,返回,连接棱长
8、都是a的正三棱锥的侧面中心成一个三角形,求此三角形的面积?,P,A,B,C,返回,在正四棱锥内有一个内接正方体,这正方体的四个顶点在四棱锥的侧棱上,另四个顶点在棱锥底面上,若棱锥底面边长为a,高为h,求内接正方体的棱长?,A,B,D,C,O,P,H,设内接正方体的棱长为x,返回,在正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4,其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形,求内接正三棱柱的全面积?,返回,能力思维方法,4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中, 侧棱PA底面ABCD,ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1, (1)求D到平面PBC的距离; (2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。
9、,解: (1)AD/平面PBC,D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离,PABC, ABBC,BC平面PAB,平面PBC平面PAB,A到PB的距离就是A到平面PBC的距离,PA=AB=2, PAAB,A到PB的距离为,D到平面PBC的距离为,返回,能力思维方法,4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中, 侧棱PA底面ABCD,ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1, (1)求D到平面PBC的距离; (2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。,Q,(2)延长CD与BA相交于Q,ADBC,且 AD= BC,A是QB的中点,又PA=AB=AQ,BQPQ,又BC平面PAB,CPPQ
10、,故CPB是所求二面角的 平面角,故面PCD与面PCD所成的二面角为,返回,例题讲解,1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD的二面角为600,求四棱锥的体积;,作、,证、,求?, PB面ABCD,BAAD, PAAD PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角,解:,即PAB600,V= a3,返回,例题讲解,1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB面ABCD. (2)证明不论高PB怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900.,M,证:由题设侧面PAD与PCD为全等,,作CMPD于M,连结MA,则CDMADM,,
11、AMCM,AMD900,故AMC就是所证二面角的平面角.,连结AC,在AMC中,由余弦定理 cosAMC =,故AMC900,即证.,小结:作二面角平面角的方法 有面的垂线,则一作一连法 定义法,在两面内作棱的垂线 面积射影定理,返回,变化一,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,BCD600,PB面ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为600,求四棱锥的体积;,E,返回,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,BCD600,面PBC面ABCD,且PBC是等边. 求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角;,变化二,E,注意:面面垂直的应用 分析平面图形,返回,例题讲解,2、如图在直三棱
12、柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt, C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2 (1)求线段DE的长,返回,例题讲解,2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt, C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2 (2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示),解: ABC-A1B1C1是直棱柱,ACBC,,AC侧面BB1C1C,,作CMBD于M,连结AM,,则AMC就是所求二面角的平面角;,在ACM中,AC2,tanAMC=AC/CM=,即所求为,ACCM,,返回,例题讲解,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面
13、ABC是等腰Rt,C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA12,若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示);,解:连结BG,由已知EBG就是所求的角,, ,A1B与平面ABD所成的角为,返回,例题讲解,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt,C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA12,若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,方法A:作垂线法,方法B:等体积法,返回,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt,C=900 ,D、E分
14、别是CC1和A1B的中点,AA12,若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,解A:由上题解知,DE平面AA1B1B,平面ADE平面AA1B1B于AE,在A1AB1中,A1K,方法A:作垂线法,返回,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt,C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA12,若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,解B:,方法B:等体积法,方法C:对象转换法,返回,小结:,1、联想概念及其性质; 2、分解难点,掌握各类基本作图; 3、强调作证求过程; 4、空间问题平面
15、化,尤三角形内 的计算。,返回,面积问题,体积问题,返回,返回,返回,基础题例题,C,1.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm2,2. 一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积 是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为 ( ) (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7,C,返回,A,3.设长方体三条棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱的 长度之和为24,一条对角线长度为5 ,体积为2,则 等于 ( ) (A
16、) (B) (C) (D),基础题例题,返回,C,4.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个 侧面的距离是a,则这个三棱柱的体积是 ( ) (A) (B) (C) (D),基础题例题,5.在侧棱长为23,每个侧面的顶角均为40的正三棱锥P-ABC中,过A作截面分别交PB、PC于E、F,则AEF的最小周长是 ( ) (A) 6 (B) (C) 36 (D),A,返回,例设P是棱长相等的四面体内任意一点,则P到各个面的距离之和是一个定值,这个定值等于( )。 (A)四面体的棱长 (B)四面体的斜高 (C)四面体的高 (D)四面体两对棱间的距离,提示:用体积法求解,返回,解:如图正四面体AB
17、CD中,过点A作四面体的高AO,则由点P分别连接PA、PB、PC、PD,得到四个小四面体, 若点P到四个表面的距离分别为h1、h2、h3、h4,那么四面体被分成的四个小四面体,它们的体积和恰好是四面体ABCD的体积,,返回, VABCD=VPBCD+VPABC+VPABD+VPACD, h1+h2+h3+h4=AO. 选C.,返回,例若正四棱柱的底面积为P,过相对两侧棱的截面面积是Q,则该四棱柱的体积是( )。 (A) (B) (C) (D),返回,解:如图,设四棱柱底面边长AB=a,高AA1=b,则P=a2,过两侧棱AA1、CC1的截面面积Q= ab,,返回,6.若一个斜棱柱A1B1C1AB
18、C的底面是等腰ABC,它的三边边长分别是AB=AC=10cm,BC=12cm,棱柱的顶点A1与A、B、C三点等距,且侧棱AA1=13cm,求此棱柱的全面积.,解:自B引BDAA1于D,连接CD,,D,AA1=A1B=A1C,,底面ABC为等腰,,故顶点A1在底面ABC上的射影O在底边 BC的高AE上,,O,E,由三垂线定理知,,BCAA1,即侧面B1BCC1为矩形,,由AA1BC,AA1BD, 得AA1平面BDC,AA1CD,,在A1AB中,引A1FAB于F,,F,在RtA1FA中,由A1A=13,AF=5,A1F=12,得,则BD=ABsinA1AB=10,S柱侧=(BD+DC+BC)A1A
19、=396,又在ABC中,AEBC,AB=10,BE=6,得AE=8,SABC=8,S柱全=396+248=492(cm) 2,返回,7.已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A,CC1的中点,求四棱锥C1B1EDF的体积.,能力思维方法,.,.,.,F,E,解:方法一:,连接A1C1, B1D1交于O1,O1,过O1作O1H B1D于H,H,EF/A1C1,A1C1/平面B1EDF,C1到平面B1EDF的距离 就是 A1C1就是 到平面B1EDF的距离,平面B1D1D平面B1EDF,O1H平面B1EDF,即O1H为棱锥的高,B1O1HB1DD1,返回,7.已知E,F分
20、别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A,CC1的中点,求四棱锥C1B1EDF的体积.,能力思维方法,.,.,F,E,解:方法二:,连接EF,设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2 ,则 h1+h2=B1D1=2a ,返回,7.已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A,CC1的中点,求四棱锥C1B1EDF的体积.,能力思维方法,.,.,F,E,解:方法三:,返回,将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使B,D两点间距离变为a,求所得三棱锥D-ABC的体积?,A,B,C,D,返回,将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使
21、B,D两点间距离变为a,求所得三棱锥D-ABC的体积?,A,B,C,D,返回,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点,棱长为a,求四棱锥D1-AEC1F的体积?,E,F,返回,平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, A1AD= A1AB= DAB= 60,(1)求证:AA1面B1CD1,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,返回,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, A1AD= A1AB= DAB= 60,(1)求证:AA1面B1CD1,返回,(2)求平行六面体的体积?,A1,B1,C1,D1,A,B
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