第五部分粒子的经典与量子分布教学课件.ppt
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1、1,第五章 粒子的经典与量子分布,5.1 玻耳兹曼分布 5.2 热力学公式 5.3 玻色分布和费米分布 5.4 经典公式 5.5 理想气体的热力学函数 5.6 Maxwell速度分布律 5.7 能量均分定理及其应用 5.8 固体热容量 5.9 顺磁性固体,第2页,重点:掌握经典Boltzmann分布,费米狄拉克分布, 玻色子爱因斯坦分布。,主要内容:由等几率原理从系统微观状态出发给出 粒子的最可几分布,以及相应的热力学公式。,第五章 粒子的经典与量子分布,第3页,上节求出了与一个分布相对应的系统的微观状态数。根据等几率原理,对于处在平衡状态的孤立系统,每一个可能的微现状态出现的几率是相等的。
2、因此,微观状态数最多的分布,出现的几率将最大,称为最可几分布。本节导出在定域系统中粒子的最可几分布,称为玻耳兹曼分布。 先证明一个近似等式:,5-1 玻耳兹曼分布,其中m是远大于1的整数 。,第4页,证明:,上式右方等于如图中一系列矩形面积之和,各矩形的宽为1,高分别为:,当m远大于1时,矩形面积之和近似等于曲线lnx下的面积。所以,其中m是远大于1的整数 。,1、斯特令公式,第5页,2、玻耳兹曼分布,粒子数为 , 称为分布,粒子能级为 ,简并度为 ;,第6页,取对数,得,假设所有的 都很大,为方便将 简记为,第7页,为了求得使,的变化,,将有,为使 有极大分布,为极大的分布,令 有,的变化。
3、,第8页,但 不完全是独立的,它们必须满足条件:,用拉格朗日(Lagrange)未定乘子 和,乘这两个式子并从,中减去,得:,根据拉氏乘子法原理,每个 的系数都等于零,所以得:,第9页,其中 对粒子的所有量子态s求和 .,此为定域系统中粒子的最可几分布,称为玻耳兹曼分布,第10页,这就证明了玻耳兹曼分布是使为极大的分布。,第二,玻耳兹曼分布是出现几率最大的分布。从原则上说,在给定N,E,V的条件T,满足下列条件的分布都是可以实现的。,几点说明:,第11页,5-2 热力学公式,1、配分函数 Z,定义函数Z:,内能是系统中粒子无规运动的总能量。,第12页,2、内能,是内能的统计表式。,第13页,3
4、、广义力 Y,无穷小过程:,Y为外参量y相应的广义力,粒子的能级是外参量的函数。外参量y的改变,外界施于,准静态过程,第14页,因此外界对系统的广义作用力Y为:,是广义作用力的统计表式。一个重要特例是,第15页,在无穷小的准静态过程中,当外参量有dy的改变时,外界对系统所作的功是:,将内能,求全微分,可得,第一项:能级的改变引起的内能的变化,代表在准静态过程中外界对系统所作的功。 第二项:粒子分布发生改变引起的内能变化,代表在准静态过程中系统从外界吸收的热量。,热量是在热现象中所特有的宏观量,是没有相对应的微观量的。,4、内能讨论,第16页,5、玻耳兹曼常数k,用,乘上式,得:,配分函数Z是,
5、,y的函数,,第17页,因此得,也是,的积分因子,都是,的积分因子,,我们可以令,的全微分为:,理想气体,第18页,是熵的统计表式。,可以知道,如果求得系统的配分函数Z,就可以求得系统的基本热力学函数内能、物态方程和熵,从而确定系统的全部平衡性质。因此Z是以y, (对于简单系统即T,V)为变量的特性函数。在热力学中讲过,以T,V为变量的特性函数是自由能F=U-TS,6、热力学函数的表达式,1)熵的表达式,第19页,熵函数的统计意义以及熵增加原理和能斯脱定理的统计解释。,由熵函数的统计表式:,第20页,而由玻耳兹曼分布公式:,可得 :,所以S可以表为:,玻耳兹曼关系给熵函数以明确的统计意义,系统
6、在某个宏观状态的熵等于玻耳兹曼常数k乘相应微观状态数的对数。 在热力学部分曾提到,熵是混乱度的量度,某宏观状态对应的微观状态数众多,它的混乱度就愈大,熵也愈大。,称为玻耳兹曼关系 。,第21页,玻耳兹曼关系是在系统处在平衡状态的条件下得到的。但是微观状态数 对于非平衡态也有意义。,假设孤立系统包含1,2两部分,每一部分各自处在平衡状态, 但整个系统没有达到平衡。我们用 和 分别表示两个部分 的微观状态数,两个部分的熵为,整个系统的微观状态数,当整个系统达到平衡状态后,它的微观状态数为 ,熵,系统的熵为,第22页,是在所给定的孤立系条件下与最可几分布相对应的微观 状态数。显然,系统处在它的高能级
7、的几率随着温度的降低而减少。在绝对零度下,系统将处在它的最低能级。在系统的能级为分立的情况下,系统在绝对零度下的熵为:,其中 是系统基态能级的简并度。假如系统的最低能级是非简并的, 即,扬州大学物理科学与技术学院03级热力学 统计物理,物理教研中心,第23页,5.3 玻色分布和费米分布,处在平衡状态的孤立系统具有确定的粒子数N,体积V和 能量E(E到E+ 之间)。,粒子能级为 ,简并度为 ;,粒子数为 , 称为分布,设给定的宏观条件为:,本节导出在玻色系统和费米系统中粒子的最可几分布。,第24页,玻色系统,第25页,玻色分布,玻色系统,根据等几率原理,对于处在平衡状态的孤立系统,每一个可能的微
8、观运动状态出现的几率是相等的。因此,使,为极大的分布,出现的几率最大,是最可几分布!,第26页,且可用近似式,因而,第27页,用拉氏乘子 和 乘这两个式子中减去 ,得,是玻色系统中粒子的最可几分布,称为玻色分布。拉氏乘子,第28页,假设,相同的方法,费米系统中粒子的最可几分布为:,拉氏乘子 满足,第29页,能级有 个量子态,处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的因此处在能量为 量子态s上的平均粒子数为:,第30页,玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布,这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1,即非简并性条件或经典极限条件。当非简并性条件满足时,玻色分布与费密分布都过渡到玻耳兹曼分布,
9、这跟前面的有关结论是一致的。,说明,在导出玻色分布和费密分布时,应用了,即,因此以上的推导是有严重缺点的。后面将用巨正则系综求平均分布 的方法严格地导出玻色分布和费密分布。,第31页,5.4 经典近似,在一定的极限条件下,可以从量子统计物理学过渡到经典统计物理学。,量子理论,粒子的统计分布,本节讨论从量子统计到经典统计的极限过渡问题。,第32页,第二,根据量子力学,量子状态由一组量子数表征。处在有限空间范围中的粒子,具有分立的能级和量子态。,1. 经典,量子的区别:,第一,在经典描述中,全同粒子是可以分辨的;而在量子描述中,全同粒子不可分辨。,玻耳兹曼是以全同粒子可以分辨的概念为基础导出的。,
10、而根据经典力学,粒子的运动状态由广义坐标和广义动量描述, 粒子的能量是连续变量。,第33页,假设在所考虑的问题中,可以应用玻耳兹曼分布。而且粒子的 能级非常密集,任意两个相邻能级的能量差 满足,普朗克常数 是一个小量!,量子统计和经典统计的实质区别将消失,量子统计将过渡到经典统计。,2. 量子过渡到经典的条件,第34页,能级,经典粒子的能量,表示当粒子的坐标和动量处在 空间 范围时其能量的数值。,空间体积元 中的状态数,简并度,玻耳兹曼分布的经典表达式,第35页,最可几分布下,坐标和动量在 空间范围的粒子数 。,配分函数的经典表达式为:,当各 取得足够小时,上式的级数化为积分,第36页,说明,
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