等速圆周运动与简谐运动SHMSimpleHarmonicMotion.ppt
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1、等速圓周運動與簡諧運動 (SHM Simple Harmonic Motion),T為該運動的週期(period)。上述運動的週期為(繞一圈或角位移為2所需時間)T=2/。習慣上,我們常以頻率(frequency) f來描述此週期性運動,f =1/ T = /2,而稱之為該運動的角頻率(angular frequency)。頻率的單位為s-1或hertz (Hz)。 正弦(或餘弦)函數中的變數值(t+)被稱為該運動的相位(phase),所以對圓周運動而言,速度與位移的相位差為90o或/2,而加速度與位移的相位差為180o或。,以動力學的觀點來看,圓周運動投射於一維座標上所遵守的運動定律為,所以
2、簡諧運動的形成主要為物體受到一恢復力(restoring force)的影響,亦即受力的方向與偏離平衡點(受力為零之處)的位移方向相反,且此力的大小線性正比於其偏移量的大小。,由此敘述我們知道,符合此狀況的最直接例子為彈簧系統。,考慮彈性係數為k的彈簧系統中,一質量為m的物體連結於此彈簧上,當彈簧壓縮量為x時,物體所受的力為,這顯示此物體的位移滿足微分方程,滿足此微分方程之解的一般形式為,例題一:一質量為1300kg車子的避震器彈性係數為20,000N/m。當它乘載兩個人總質量為160kg時,路經一坑洞使得車子上下震動,問其振動頻率為何?,此為前面所敘述的簡諧運動,而其週期與頻率為,A. 10
3、 Hz B. 7 Hz C. 5 Hz D. 3Hz E.1Hz,分子振動,凡德瓦作用力模型,考慮x為偏離平衡點之位移,亦即x=r-Ro。則其受力大小可表示為,利用數學展開式關係,將力的形式展開後,我們可得一近似虎克定律的關係,例題:給定氬分子間凡德瓦作用力大小為Uo=1.68*10-21J與Ro=3.82*10-10m。請估計該分子的振動頻率。,5.6105 B. 5.6107 C. 5.6109 D. 5.61011 E. 5.61013 Hz,單擺(Simple Pendulum)與物理擺(Physical Pendulum),當角度不大時,sin 。再將弧長s = L代入,單擺的運動方
4、程可重新寫為,由牛頓定律我們有,此運動方程與由彈簧系統所得到的微分方程一樣,所以符合此運動方程的解為,角位移對時間為一簡諧運動,擺動週期與頻率為,思考問題:若將繩子改為彈簧,彈簧掛上物體後的平衡長度為L,問此擺的週期會大於、小於或等於繩子擺?,思考問題:由化石資料顯示,暴龍的腿骨長約為3.1公尺,而其足跡間距約為4.0公尺。請估計暴龍行走之速度。,假若擺的質量並非集中於擺長的另一端,而是須要考慮質量於空間的分佈(如圖所示),則我們稱此為物理擺(physical pendulum)。,因重力對此系統所施的力矩而產生的運動為滿足:,考慮當擺動的角度不是很大時:,此擺動對角度值而言為一簡諧運動。其週
5、期為,A uniform rod of mass M and length L is pivoted about one end and oscillates in a vertical plane. Find the period of the oscillation if the amplitude of the motion is small.,思考問題:機械式傳統鐘錶通常皆依賴振動系統來計時,為何振動系統可為時間之標準。,扭擺(Torsional Pendulum),繩索因此角度扭轉而施予此物體一力矩,其大小與扭轉角度成正比,方向為減小此扭轉角度的方向。由此我們可以寫出此系統的運動方程
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