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1、第十一章 区间估计,置信区间 正态总体下的置信区间,第一节 置信区间,对应总体的某一个样本观测值,我们可以得到点估计量,的一个观测值,但是它仅仅是参数的一个近似值.,由于 是一个随机变量,它会随着样本的抽取而随机变化,不会总是和相等,而存在着或大、或小,或正、或负的误差.即便点估计量具备了很好的性质,但是它本身无法反映这种近似的精确度,且无法给出误差的范围. 为了弥补这些不足,我们希望估计出一个范围,并知道该范围包含真实值的可靠程度.这样的范围通常以区间的形式给出,同时还要给出该区间包含参数真实值的可靠程度.这种形式的估计称之为区间估计.,第一节 置信区间,例 对明年小麦的亩产量作出估计为:,
2、若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为,P(800X1000)=80%,明年小麦亩产量八成为800-1000斤.,区间估计,第一节 置信区间,例1,某农作物的平均亩产量X(单位)服从正态分布N(,2),今随机抽取100亩进行试验,观察其亩产量值x1,x2,x100,基此算出 ,因此的点估计值为500.由于抽,样的随机性, 的真值与 的值总有误差,我们希望以,95%的可靠度估计 与的最大误差是多少?,因为,从而存在c0,使得,因此,这个c就是可允许的最大误差,第一节 置信区间,定义 设X1,X2,Xn是来自总体f(x,)的样本, 未知,对于任给(0 1),若有统计量,则称随机区间 为的双侧1的置
3、信区间,1为置信水平,使得,几点说明,1、参数的置信水平为1-的置信区间( 1, 2) 表示该区间有100(1-)%的可能性包含总体参 数的真值。,2、不同的置信水平,参数的置信区间不同。,3、置信区间越小,估计越精确,但置信水平会降低; 相反,置信水平越大,估计越可靠,但精确度会降 低,置信区间会较长。一般:对于固定的样本容量, 不能同时做到精确度高(置信区间小),可靠程度也 高(1- 大)。如果不降低可靠性,而要缩小估计范 围,则必须增大样本容量,增加抽样成本。,第一节 置信区间,第一节 置信区间,对于给定的置信度,怎样根据样本来确定未知参数的置信区间,就是参数的区间估计问题.求未知参数的
4、置信区间的一般方法:,以例1为例,的点估计 (也是极大似然估计)有分布,对于给定=0.05,可通过查正态分布表得:,由随机事件的等价性,(枢轴变量法),称为枢轴函数,它有以下两个特点:,1.枢轴函数除含有关心的未知参数外,不再有 其他未知参数;,2.枢轴函数的分布式完全已知的或完全可以确定。,第一节 置信区间,第一节 置信区间,这时必有,例1,某农作物的平均亩产量X(单位)服从正态分布N(,2),今随机抽取100亩进行试验,观察其亩产量值x1,x2,x100,基此算出 ,因此的点估计值为500.由于抽,样的随机性, 的真值与 的值总有误差,我们希望以,95%的可靠度估计 与的最大误差是多少?,
5、因为,因此,就是c值,,解,此处, n=100,因此,置信区间,对于给定的,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,一、均值估计(均值的置信区间),1. 2已知时,X1,X2,Xn为取自N(,2)的样本,求的1-置信区间,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,2. 2未知时,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,例,为估计一批钢索所能承受的平均张力(单位:kg/cm2) ,,从中随机抽取10个样品作试验,由实验数据算出 ,,假定张力服从正态分布,求平均张力的置信水平,为95%的置信区间.,解,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态
6、总体N(,2)的情形,二、方差的估计(方差2的置信区间),1. 已知时,X1,X2,Xn为取自N(,2)的样本,求2的1-置信区间,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,1. 未知时,第二节 正态总体下的置信区间,两个正态总体N(1,12), N(2,22)的情形,设X1,X2,Xm为取自N(1,12)的样本, Y1,Y2,Yn,为取自N(2,22)的样本,且(X1,X2,Xm,)与,(Y1,Y2,Yn)相互独立,求二总体均值差1- 2的1-,置信区间,第二节 正态总体下的置信区间,两个正态总体N(1,12), N(2,22)的情形,1- 2 的置信区间,1. 12, 2
7、2已知时,第二节 正态总体下的置信区间,两个正态总体N(1,12), N(2,22)的情形,2. 12=22=2未知时,第二节 正态总体下的置信区间,两个正态总体N(1,12), N(2,22)的情形,例,甲、乙两台机床加工同一种零件,今在机床甲加工的零,件中随机抽取9件,在乙加工的零件中随机抽取6件,分,别测量零件的长度(单位:mm),由测得的数据可算出,假定零件长度服从正态分布,试求两台机床加工零件长,度的均值差1-2的水平为95%的置信区间。,解,令n1=9,n2=6,水平为95%的1-2的置信区间为,-0.6056,0.6164,例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从正态,解 (1),即,分布 N( 2), 现从某天的产品中随机抽,(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.,取 6 件, 测得直径为,15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1, 的置信区间为,(2) 取,查表,由给定数据算得, 2 的置信区间为,(3) 选取枢轴量,查表得, 的置信区间为,
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