第十三多元函数积分学.ppt
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1、第十三章 多元函数积分学,第一节 二重积分的概念及性质,第二节 二重积分的计算方法(1),第二节 二重积分的计算方法(2),高等数学电子教案 西电,第三节 二重积分的应用,第四节 三重积分的概念及计算方法,第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算 三重积分,高等数学电子教案 西电,教师:任春丽,第一节 二重积分的概念及性质,一、二重积分的概念,1、引例,(1) 计算曲顶柱体的体积(如图),设曲面,且在D上连续,第一节 二重积分的概念及性质,解: step1 分割:任意划分D为n个小区域,step2 近似:,step3 求和:,定义域,第一节 二重积分的概念及性质,V=,step4 取极限,(2)计算
2、平面薄板的质量,第一节 二重积分的概念及性质,设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)的面密度为,且在D上连续,解:step1 分割:,D,X,Y,O,第一节 二重积分的概念及性质,step 2 近似:,step3 求和:,step4 取极限:,上面引例可以看到:两个引例的实际意义,第一节 二重积分的概念及性质,不同,但都归结为同一形式的和式极限。我们把这种和式的极限抽象为二元函数在平面 闭区域D上的二重积分的定义。,2、定义:设f(x,y)是有界闭区域D上的有界 函数。如果和式极限,从在,则称此极限值为,f(x,y)在区域D上的二重积分,记 作,,即,第一节 二重积分的概念及性
3、质,积 分 区 域,被 积 函 数,积 分 变 量,面积元素,积分符号,因而,引例(1)体积,被积表达式,第一节 二重积分的概念及性质,引例(2) 质量,注 (1)极限存在指:任意分割、任意取点、 和式极限值相等,在直角坐标系下, 若用平行与x轴,y轴 的直线族划分D,则,X,Y,O,第一节 二重积分的概念及性质,从而,(3)二重积分为数,与变量符号无关即,故记,第一节 二重积分的概念及性质,3、二重积分存在的充要条件如果f(x,y)在闭区 域D上连续,则,4、二重积分的几何意义,(以D为底,f(x,y)未定的曲顶柱体的体积),(曲顶柱体体积的负值),第一节 二重积分的概念及性质,一般的,曲顶
4、柱体体积的代数和,例1、计算,解:由几何意义,(上半球体的体积),第一节 二重积分的概念及性质,二、二重积分的性质,假设以下各积分存在,性质1,k为常数,性质2,性质3 (可加性),第一节 二重积分的概念及性质,(除分界线),性质4 如果,性质5 (不等式性) 如果在D上,第一节 二重积分的概念及性质,特别的:,性质6 (估值性) 设,第一节 二重积分的概念及性质,性质7 (积分中值定理) 设f(x,y)在闭区域D,上连续,则至少存在一点,证明:,第一节 二重积分的概念及性质,由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点,第一节 二重积分的概念及性质,三、举例,例2、 设区域D:,是变量y的奇函数
5、,X,Y,O,解:,第一节 二重积分的概念及性质,是变量x的偶函数,注:上述性质,称为二重积分的奇偶对称性对 于一般函数也成立,例3、 估计下列积分值,第一节 二重积分的概念及性质,(2)求D上的最大最小值,X,Y,o D,解:,第一节 二重积分的概念及性质,Ep4:,第一节 二重积分的概念及性质,其中D由x=0,y=0及x+y=1围成,解:,Ep5:,解:,第一节 二重积分的概念及性质,第一节 二重积分的概念及性质,第二节 二重积分的计算方法(1),一、区域的类型及表示,1、X-型区域:穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点,a,a,a,x,x,x,b,b,b,x,x,x,y,y,
6、y,o,o,o,第二节 二重积分的计算方法,2、Y-型区域:穿过区域D的内部且平行于x轴的,直线与D的边界相交至多两点,3、其它类型 如图,非X-型,非Y-型区域,x,y,y,c,d,o,o,x,y,第二节 二重积分的计算方法,例1、闭区域D由,所围成,使用联立不等式表示区域D,解:法一、D是X型区域 则,法二、D是Y-型区域且,第二节 二重积分的计算方法,二、利用直角坐标计算二重积分,解:一方面:,曲顶柱体的体积,另一方面:利用平行截面为已知的立体体积计算,设:区域D为X-型,得截面面积,第二节 二重积分的计算方法,一般的,综上:,第二节 二重积分的计算方法,类似的,若D为Y-型区域,称为先
7、x后y的二次积分,情形仍成立,关键,步骤如下:,第二节 二重积分的计算方法,第一步:画区域D的图形,第二步:确定类型,求投影曲间,穿入、穿出,线方程,并用联立不等式表示区域,第三步:将二重积分写成二次积分,例2、计算,其中区域D是由,解:画图 求出交点(-1,1),及(4,2),(4,2),(-1,1),第二节 二重积分的计算方法,法一 D是X-型区域,且,法二 D是Y-型区域,且,(4,2),(-1,1),第二节 二重积分的计算方法,例3、计算,,其中D由,所围成,解:D是X-型区域,第二节 二重积分的计算方法,又 D是Y-型区域,无法积分,这说明此积分先x后y的顺序的方法失效,注:上述两例
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