第6章有限元法绪论已排ppt课件.ppt
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1、1,第2部分 有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Applications,2,第6章 有限元法的基本概念,3,在工程技术领域内,经常会遇到两类典型的问题。第一类问题,可以归结为有限个已知单元体的组合。例如,材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。这类问题称为离散系统。如下图所示平面桁架结构,是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。,6.1 工程和科学中典型问题,4,第二类问题,通常可以建立它们应遵循的基本方程,即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题,热传导问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元,这类问题称为连续系统,或场问题。,尽管
2、已经建立了连续系统的基本方程,由于边界条件的限制,通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题,还无法给出精确的解答。为解决这个困难,工程师们和数学家们提出了许多近似方法。,6.1 工程和科学中典型问题,5,6.2 场问题的一般描述,实例:二维热传导(稳态)问题,原理:从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源产生的热量Q平衡,基本方程: 边界条件:,6,6.3 场问题的求解策略及方法,6.3.1 求解策略 1、直接法:求解基本方程和相应定解条件的解; 2、间接法:基于变分原理,构造基本方程及相应定解条件的泛函形式,通过求解泛函的极值来获得原问题的近似解。即将微分形式转化与其等价的
3、泛函变分的积分形式。 6.3.2 求解方法 1、解析或半解析法: 2、数值法: A)基于直接法的数值法,如差分法; B)基于间接法的数值法,如等效积分法(如里兹法)、有限元法等。,7,数值计算方法分类,8,先将求解域离散为有限个单元,单元与单元只在节点相互连接;-即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替 每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律,该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数 基于问题的基本方程,建立单元节点的平衡方程(即单元刚度方程) 借助于矩阵表示,把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程,这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组,
4、引入边界条件求解该方程组即可。,6.4 有限元法基本思想,9,有限元法基本思想,10,节点位移向量表示: 节点力向量表示: 节点1沿x方向的位移 、其余节点位移全为0时轴向压力为:,实例1: (1) 求右图离散结构2的点位移,11,同理,节点2作用于单元1上的力,其大小与之相等,方向相反,x和y方向的分量分别记为:,注: 表示第e个单元的第j个自由度产生单位位移,而其它自由度上的位移为零时,第i个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。,实例1: (2)单元分析,节点1作用于单元1上的力,在x和y方向的分量分别为:,12,单元2节点力平衡方程,实例1: (2)单元分析,同理可求 分别作单位位
5、移时相应的刚度系数,考虑到节点的实际受力为 和实际位移为 ,则据各个节点节点力平衡得:,13,结合前式推导得:,实例1: (3)整体分析,整体分析: 作用于每个节点上 的节点力平衡,即,14,整体矩阵记为:,求解上述整体方程,可得问题的节点位移。,实例1: (4)引入约束求解,将 代入可得整体方程,15,实例2 连续问题,例:求等截面直杆在自重作用下的拉伸。 图(a)中单位杆长重量为q,杆长为L,截面面积为A,弹性模数为E。,16,实例 2,材料力学方法求解直杆拉伸: 考虑微段dx,内力 N=q (L-x) dx的伸长为: x截面上的位移: 根据几何方程求应变,物理方程求应力。这里 应变: 应
6、力:,17,i,L,1,i,L,+,图 2-3,i+1,i,i-1,2,),L,L,(,q,1,i,i,+,+,1、离散化,2、外载荷集中到结点上,即把阴影部分的重量作用在结点i上,实例 2 (1)结构离散,有限单元法求解直杆拉伸: 直接公式法,18,实例2 (2)单元分析,3、假设线单元上的位移为线性函数,19,4、以i结点为对象,列力的平衡方程 令 将位移和内力的关系代入得,用结点位移表示的平衡方程,其中i=1,2, n有n个方程未知数也有n个,解方程组,得出结点位移,进而计算应力。,实例2 (2)单元分析,20,假设线单元数为3个的情况, 平衡方程有3个: i=1时, i=2时, i=3
7、时, 联立解得:,与材料力学的精确解答在结点处完全相同。,实例2 (3)整体分析与求解,21,6.5 有限元法的基本步骤, 所研究问题的数学建模(问题分析) 结构离散 单元分析 (位移函数、单刚方程) 整体分析与求解 (总刚方程与求解) 结果分析及后处理,22,在寻找连续系统求解方法的过程中,工程师和数学家从两种不同的路线得到了相同的结果,即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代,来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看,桁架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年,将矩阵位移法推广到求解平面应
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