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1、刚体定轴转动的角动量,角动量定理,角动量守恒定律,若刚体所受的合外力矩 M外0,,L = = 恒矢量。,力矩的功,A,考虑刚体受外力矩所做的功:,定义:刚体的转动动能,系统机械能守恒,即,例2 质量m1,半径为R的定滑轮(当作均质圆盘)上绕一轻绳,绳的一端固定在滑轮上,另一端挂一质量为m2的物体而下垂,如图所示。忽略轴处摩擦,求物体m2由静止下落 h 高度时的速度。,解 根据机械能守恒定律,以及,用牛顿第二运动定律及转动定律求解.,对物体m用牛顿第二运动定律得,对匀质圆盘形滑轮用转动定律有,联立可得。,解法二,例3:如图所示,一个长为l 、质量为M 的匀质杆可绕支点o自由转动.一质量为m 、速
2、率为v 的子弹以与水平方向成角 的方向射入杆内距支点为a 处,使杆的偏转角为 . 问子弹的初速率为多少?,解 把子弹和匀质杆作为一个系统, 分析可知在碰撞过程中角动量守恒.,设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为 ,则,子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功,所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒,机械能守恒:,联立上述这两个方程得子弹的初速率为,题目变形:给初速度,求上升高度,例4. 如图所示,一根质量为M 、长为2l 的均匀细棒,可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动,开始时细棒静止于水平位置. 今有一质量为m 的小球,以速度 垂直向下落到了棒的端点,设小球与棒的碰撞为完全弹
3、性碰撞. 试求碰撞后小球的回跳速度 及棒绕轴转动的角速度 .,解 分析可知,以棒和小球组成的系统的角动量守恒.,由于碰撞前棒处于静止状态,所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量 ;,由于碰撞后小球以速度v 回跳,棒获得的角速度为 ,所以碰撞后系统的角动量为,由角动量守恒定律得,由题意知,碰撞是完全弹性碰撞,所以碰撞前后系统的动能守恒,即,联立以上两式,可得小球的速度为,棒的角速度为,要保证小球回跳 ,则必须保证 .,讨论:,例5 工程上,两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示,A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上,A轮的转动惯量为JA=10 kgm2,B的转动惯量为JB=20kg
4、m2 。开始时A轮的转速为600r/min,B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速;在啮合过程中,两轮的机械能有何变化?,解:以飞轮A、B 和啮合器 C 作为一系统来考虑,在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力,前者对转轴的力矩为零,后者对转轴有力矩,但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩,所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度,于是,以各量的数值代入得,定轴转动刚体的角动量守恒定律,或共同转速为,在啮合过程中,摩擦力矩作功,所以机械能不守恒,部分机械能将转化为热量,损失的机械能为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例:如图示,一匀质圆盘
5、半径为r,质量为m1, 可绕过中心的垂轴O转动。初时盘静止, 一质量为m2的子弹以速度v沿与盘半径成 的方向击中盘边缘后以速度 沿与半径成 的方向反弹,求圆盘获得的角速度。,由于对于转轴O,合外力矩为零,角动量守恒。,末状态,子弹和圆盘都有角动量,,于是有:,初始角动量,例:两个均质圆盘转动惯量分别为,和,开始时第一个圆盘以,的角速度旋转,,第二个圆盘静止,然后使两盘水平轴接近,,求:当接触点处无相对滑动时,两圆盘的角速度,注意:对于每个圆盘来说 都受到非零的和外力矩, 所以角动量不守恒,需要 利用转动定律来求解。,解:,受力分析:,无竖直方向上的运动,作用在系统上的外力矩不为0,故系统的角动量不守恒。,只能用转动定律做此题。,对于盘1:,阻力矩,两边积分,对于盘2:,两边积分,于是有:,不打滑条件:,接触点处两盘的线速度相等,可解得:,
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