复习大纲.ppt
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1、第2章 自动控制系统的数学模型 2.1 控制系统的微分方程 2.2 控制系统的传递函数 2.3 方块图 2.4 控制系统的信号流图,控制系统的数学模型,一、定义 控制系统的数学模型是描述系统中各元件的特性以及各种信号(变量)的传递和转换关系的数学关系式。,二、形式 时域: 微分方程 差分方程 状态空间模型 频域: 传递函数 方块图 频率特性,微分方程,微分方程是描述各种控制系统最基本的数学工具,也是各种数学模型的基础。,建立微分方程的步骤 1、首先应对实际的物理系统作一些理想化的假设,忽略一些次要因素。 2、然后从输入端开始,依次写出控制系统中各元件的微分方程。 3、最后,选定系统的输入量和输
2、出量,将各元件的微分方程联立起来,消去中间变量,得到输出量与输入量的关系,就是控制系统的微分方程。,机械系统,电路系统,机电系统,1. 传递函数定义 零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,传递函数,设:输入-r(t),输出-y(t),则传递函数: 式中: Y(s)=Ly(t)输出量的拉氏变换式 R(s)=Lr(t)输入量的拉氏变换式。 那么: Y(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应y(t)等于Y(s)的拉氏反变换:,几种典型环节的传递函数(比例,惯性等)。,控制系统的结构图,控制系统的结构图:描述系统各组成元部件之间信号传递的数字图形。 特点:(1)不需要使用消元
3、法 (2)能直接反映中间变量。,一、结构图的组成 (1)信号线:带有箭头的直线。箭头表示信号 的传递方向,线上标记信号的时间函数或象函数; (2)引出点(测量点):信号引出或测量的位置。 从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同; (3)比较点(综合点):对两个以上的信号进行 加减运算。用“+”、“-”表示,“+”有时可省略; (4)方框(环节):表示方框的输出信号与输入信号 之间的传递关系。方框中写入元部件或系统的传递函数。,三、结构图的等效变换 一个复杂的系统结构图经过等效变换为一个方框可直接得到本身的传递函数。 1、等效变换:变换前后,系统输入输出总的数学关系保持不变。 等效变换原则
4、:(1)变换前后前向通路中传递函数的乘积保持不变; (2)变换前后回路中传递函数的乘积保持不变。 2、结构图中方框之间的三种连接形式(串联,并联,反馈连接) (1)串联连接:前一个方框的输出是后一个方框的输入;,二、建立结构图的步骤 (1)建立系统各元部件的微分方程; (2)对各微分方程进行拉氏变换,并作出各元件的结构图; (3)按系统中各变量的传递顺序,依次将各元件的结构图连接起来;置系统的输入变量于左端,输出变量于右端,得到系统的结构图。,(2)并联连接:两个或两个以上的方框有相同的输入量,而输出量为每个方框输出量的代数和; (3)反馈连接:,3、等效变换法则 (1)串联方框的等效变换,(
5、2)并联方框的等效变换,(3)反馈方框的等效变换,证明:,(4)比较点和引出点的移动 1)比较点前移(逆着信号线的指向移动),证明:,2)比较点后移,3)相邻比较点之间的移动,4)引出点前移,5)引出点后移,6)相邻引出点之间的移动,7)比较点和引出点交换位置,(5)负号在支路上的移动,例 化简下面的结构图,并求传递函数,解:引出点后移,信号流图,1、信号流图的概念 信号流图:由节点和支路组成的信号传递网络,是一种表示一组联立线性代数方程的图。 例如: 2、几个术语 节点:用来表示变量或信号的点,用“。”表示。 支路增益:两个节点之间的增益。 支路:连接两个节点的定向线段,具有一定的增益。(乘
6、法器) 输入节点(源节点):只有输出支路的节点,对应于自变量。,输出节点(阱节点):只有输入支路的节点,对应于因变量。 混合节点:既有输入支路又有输出支路的节点。 通路:沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径。 前向通路:信号从输入节点到输出节点传递时,每个节点只通过一次的通路。 前向通路增益:前向通路中各支路增益的乘积。 回路:起点和终点在同一节点,而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。 回路增益:回路中各支路增益的乘积。 不接触回路:如果回路之间没有公共节点,称它们为不接触回路。 3、信号流图的性质 (1)节点表示的变量是所有流向该节点的信号之和,而从同一节点流向各支路信号,均用该节点变
7、量表示; (2)支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系,信号只能沿着支路的箭头方向传递,而没有相反的关系; (3)在混合节点上,增加一条具有单位增益的支路,可把混合节点变为输出节点,即分离出系统的输出变量;,注意:用这种方法不能将混合节点变为输入节点。 (4)对于给定系统,信号流图不是唯一的; (5)信号流图只适用于线性系统。 4、信号流图的绘制 (1)由系统微分方程绘制信号流图,(2)由系统结构图绘制信号流图 结构图与信号流图的对应关系 1)结构图的信号线对应于信号流图的节点、方框对应于支路和支路增益; 2)结构图输入端和输出端对应于信号流图的输入节点和输出节点; 3)结构图综合点或引出点
8、对应于信号流图的混合节点。在结构图比较点之前没有引出点时,只需在比较点后设置一个节点便可;但若在比较点之前有引出点时,就需在引出点和比较点各设置一个节点,它们之间的支路增益是“1”。,5、梅逊(Mason)增益公式 输入输出节点间总增益(或传递函数)为,说明:(1)梅逊公式也适用于结构图; (2)只适用于输出节点对输入节点的总增益,对混合节点不 能直接用。,解:先在结构图上标出节点,再根据逻辑关系画出信号流图如下:,例:绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。,图中,有一个前向通道;,有三个回路;,有两个互不接触回路;,(因为三个回路都与前向通道接触。),总传输为:,第
9、3章 自动控制系统的时域分析 3.1 典型输入作用和时域性能指标 3.2 一阶系统的瞬态响应 3.3 二阶系统的瞬态响应 3.4 高阶系统分析 3.5 稳定性和代数稳定判据 3.6 稳态误差分析,3.2.1 一阶系统的数学模型,单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。,3.2.2 一阶系统的响应,开环传递函数为:,闭环传递函数为:,由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下,也可简化为二阶系统来研
10、究。,典型二阶系统的微分方程 :,3.3.1 典型二阶系统的数学模型,称为典型二阶系统的传递函数, 称为阻尼系数, 称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。T称为二阶系统的时间常数。,注意:当 不同时,特征根有不同的形式,系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。, 当 时,特征方程有一对共轭的虚根,称为零(无)阻尼系统,系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。, 当 时,特征方程有一对实部为负的共轭复根,称为欠阻尼系统,系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。, 当 时,特征方程有一对相等的实根,称为临界阻尼系统,系统的阶跃响应为非振荡过程。, 当 时,特征方程有
11、一对不等的实根,称为过阻尼系统,系统的阶跃响应为非振荡过程。,阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应形式如下表所示:,3.3.3 典型二阶系统的性能指标(衰减振荡瞬态过程),最大超调量,调节时间,例 有一位置随动系统,其方块图如图所示。其中K=4,T=1。试求: (1) 该系统的无阻尼振荡频率 wn;(2)系统的阻尼系数z;(3)系统超调量d%和和调整时间ts;(4)如果要求z0.707,在不改变时间常数T的情况下,应怎样改变系统开环放大系数K。,解: 系统的闭环传递函数为:,(4)当要求在z0.707时,wn=1/2z= 0.707,则Kwn2=0.5。可见要满足二阶工程最佳参数的要求(该
12、例中为增加阻尼系数),必须降低开环放大系数 K的值。,传递函数:,3.4 典型三阶系统的瞬态响应,三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成:稳态项,共轭复极点形成的振荡分量,实极点构成的衰减指数项分量。,三阶系统的单位阶跃响应的表达式:,闭环系统若存在离虚轴最近的一对共轭极点或一个实极点; 极点附近无零点; 其他极点距虚轴的距离是离虚轴最近的极点距虚轴的距离的5倍以上。,主导极点:满足下列条件的极点称为主导极点。,主导极点在y(t)中的对应项衰减最慢,系数最大,系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。,闭环主导极点,3.5 线性控制系统稳定性-充分必要条件,线性
13、系统稳定的充要条件: 系统特征方程的根(即传递函数的极点)全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说,特征方程的根应全部位于s平面的左半部。,(一)胡尔维茨判据,胡尔维茨行列式的构造:主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 ,在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加,在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。当下标大于n或小于0时,行列式中的项取0。,胡尔维茨行列式:,3.5.3 代数稳定性判据-胡尔维茨稳定性判据,以4阶系统为例使用胡尔维茨判据:,稳定的充要条件是:,设线性系统的特征方程为:,线性系统稳定的充分必要条件是: 1)方程式所有系数为正; 2)所有奇数阶或偶数阶胡尔维
14、茨行列式为正,即:奇0或偶0。 根据李纳德-戚帕特判据,若系统特征方程式的各项系数中有负或零(缺项),则系统是不稳定的。,对于n4的线性系统,其稳定的充要条件还可以表示为如下简单形式: n=2时:特征方程的各项系数严格为正. n=3时:特征方程的各项系数严格为正,且2 0 n=4时:特征方程的各项系数严格为正,且2 0以及2an-1 2an-4/an-3,3.5.3 代数稳定性判据-胡尔维茨稳定性判据的另一种形式,李纳德-戚帕特判据,例,设线性系统的开环传递函数为:,试判断系统稳定时K,T应满足的条件。,根据李纳德-戚帕特判据,K0,T0且,(二)、劳斯判据 设线性系统的特征方程为,劳斯阵列的
15、前两行元素由特征方程的系数组成,第一行由特征方程的第一、三、五、项系数组成,第二行由特征方程的第二、四、六、项系数组成。若特征方程有缺项,则该项系数以零计。,劳斯阵如下:,3.5.3 代数稳定性判据-劳斯稳定性判据,以后各项的计算式为:,依次类推。可求得,劳斯判据:系统特征方程具有正实部根的数目与劳斯阵列第一列元素中符号变化的次数相等。 根据这个判据可以得出线性系统稳定的充分必要条件为:由系统特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列元素没有符号变化。 若劳斯阵列第一列元素的符号有变化,其变化的次数等于该特征方程的根在s右半平面的个数,表明相应的线性系统不稳定。,一. 劳思阵某一行第一项系数为零,而其
16、余系数不全为零。导致劳思阵下一列无法计算。 处理办法:用很小的正数 代替零的那一项,然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零(即 )与其上项或下项的符号相反,计作一次符号变化。,3.5.3 代数稳定性判据-劳斯稳定性判据的特殊情况,二.劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少有下述几种情况之一出现,如:大小相等,符号相反的一对实根,或一对共轭虚根,或对称于虚轴的两对共轭复根。,处理办法:可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程,对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等,位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。,例5
17、:,设线性系统特征方程式为:,试判断系统的稳定性。,解:,建立劳斯表:,若劳斯表某行第一列系数为零,则劳斯表无法计算下去,可以用无穷小的正数代替0,接着进行计算,劳斯判据结论不变。,由于劳斯表中第一列系数有负,系统是不稳定的。,例:,设线性系统特征方程式为:,试判断系统的稳定性。,解:,建立劳斯表:,系统是不稳定的。特征方程共有6个根:,例: 考虑如下图所示的导弹航向控制系统。图中,Tm0,Tf0,试确定系统稳定时放大系数K的取值范围。,解:闭环传递函数为:,特征方程为:,整理后可得开环放大系数K的取值范围是:,定义:误差信号 在时间 趋于无穷大时的数值定义为系统的稳态误差,记为 。即:,误差
18、信号 包括瞬态分量 和稳态分量 两部分.由于系统必须稳定,故当时间趋于无穷大时,必有瞬态分量 趋于零,因而,控制系统的稳态误差 定义为误差信号的稳态分量,对于稳定的系统,稳态误差可以借助拉氏变换的终值定理方便的计算出:,3.6 控制系统的误差和稳态误差,给定和扰动同时作用下的误差表达式,对稳定的系统,可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差,终值定理要求有理函数 的所有极点都在s平面的左半开平面(包括原点)。,3.6.2 稳态误差分析典型输入作用下的稳态误差(总结),由稳定的条件知: 不能满足 的要求,例:系统结构图如图1所示,1.写出闭环传递函数 表达式,2.要使系统满足条件: 试确定相应的参数
19、 和,3.求此时系统的动态性能指标,4. 时,求系统的稳态误差,第4章 线性系统的根轨迹分析法 4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3 控制系统根轨迹绘制示例 4.4 基于根轨迹法的系统性能分析,第4章 线性系统的根轨迹分析法,其基本思路:当开环系统的一个或多个参数发生变化时,根据系统的开环零点和极点,借助若干条绘图准则,绘制出闭环特征根变化的轨迹,简称根轨迹。,利用根轨迹法可以: 分析闭环系统的稳定性 计算(或估算)闭环系统的瞬态和稳态性能指标 确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响 对闭环系统进行校正,根轨迹定义:控制系统的某一参数由零到无穷大变化时,闭环系统的特征
20、根(闭环极点)在s平面上形成的轨迹。,上述两式称为满足根轨迹方程(kg=0)的幅值条件和相角条件。,当根轨迹增益kg=0时:,根轨迹方程可写为:,即:,4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件,上述两式称为满足根轨迹方程(kg0)的幅值条件和相角条件。,当根轨迹增益kg0时:,根轨迹方程可写为:,即:,根轨迹的两种类型: 180o等相角根轨迹:复平面上所有满足相角条件式(kg=0)的点连成的曲线,称为180o等相角根轨迹,简称根轨迹。 0o等相角根轨迹:复平面上所有满足相角条件式(kg0)的点连成的曲线,称为0o等相角根轨迹。,这样,当根轨迹增益从kg=0到kg=变化时,根据根轨迹应满足的相应幅值和
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