复变函数第12讲.ppt
《复变函数第12讲.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《复变函数第12讲.ppt(35页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1,复变函数 第12讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,2 留数,3,1. 留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那末根据柯西-古萨基本定理,但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分,一般就不等于零.,4,因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数 f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下 c-1(z-z0)-1的一项等于2pic-1外, 其余各项积分都等于零,
2、 所以,其中c-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z),z0, 即,5,定理一(留数定理) 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则,D,z1,z2,z3,zn,C1,C2,C3,Cn,C,6,证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有,7,求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. 如果z0是f(z)的可去奇点, 则Resf(z),z
3、0=0, 因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式. 如果z0是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将其按洛朗级数展开. 如果z0是极点, 则有一些对求c-1有用的规则.,8,2. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则,规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则,9,事实上, 由于 f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+., (z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+. +c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令两端zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 12
链接地址:https://www.31doc.com/p-3131038.html