复变函数第5讲.ppt
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1、1,复变函数 第15讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,复变函数讲到今天结束,3,分式线性映射公式:,4,现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况. 根据前面的讨论可知: (I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域; (II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域; (III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.,5,O,6,解 所设的两个圆弧的交点为-i与i, 且相互正交. 交点-i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的区域经映
2、射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张角等于p/2.,此点在第三象限的分角线C1上. 由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.,7,映射的角形区如图所示,O,C2,C1,O,u,v,(w),8,例2 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1的分式线性映射.,O,1,-1,x,y,l,O,1,-1,u,i,v,(z),(w),9,解法一 将上半平面看成半径为无穷大的圆域, 实轴就是圆域的边界圆周. 因为分式线性映射具有保圆性, 因此它必能将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1. 由于上半平面总有一点z=l要映成单位圆周|w|=1的圆心w=0,10,从而所求的分式线性映射具有下列形式:,
3、其中k为常数.,11,反之, 形如上式的分式线性映射必将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1. 因为当z取实数时,即把实轴映射成|w|=1. 又因为上半平面中的z=l映射成w=0, 所以(6.3.2)必将Im(z)0映射成|w|1.,12,也可以在x轴上与在单位圆周|w|=1上取三对不同的对应点来求: 解法二 在x轴上任意取定三点:z1=-1, z2=0, z3=1使它们对应于|w|=1上三点:w1=1, w2=i, w3=-1, 则因z1z2z3跟w1w2w3的绕向相同, 由(6.3.1)式得所求的分式线性映射为,化简后即得,13,注意: 如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,
4、 但不同于(6.3.3)的分式线性映射. 此可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的, 而是有无穷多. 这从(6.3.2)中的q可以任意取实数值即可明白. (6.3.3)就是取l=i,q=-p/2而得到的. 如果以l=i, q=0代入(6.3.2), 则,这也是一个把上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1, 且将点z=i映射成圆心w=0的映射.,14,例3 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0, arg w(2i)=0的分式线性映射. 解 由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0. 所以由(6.3.2)
5、得,因为,故有,15,从而得所求的映射为,16,例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射.,x,1,y,(z),O,O,u,v,(w),1,a,17,解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0. 这时与,18,由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点, 所以当|z|=1,|w|=1. 将圆周|z|=1上的点z=1代入上式, 得,所以 |k|=1, 即k=eij. 这里j是任意实数.,19,因此, 将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是,反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.
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