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1、第四节 函数的微分,2.4.1 引例,如图2-4所示,问金属片面积的改变量是多少?,解 金属薄片的原面积为,当金属薄片受热后边长从,变到,二、微分的定义,定义2 设函数 在 的某邻域内可导,则 称,规定:自变量的微分是自变量的增量。,即,从而,函数 在点 处的微分为,所以,即函数的微分与自变量的微分之商就是导数。,根据微分定义可知,引例中,即,例1 求函数 在 时的改变量及微分。,解,因为,,所以,故,显然,三、微分的几何意义,设函数 的图形如图2-5所示,MP是曲线上点,得到曲线上另一点,由,得,即,由此可知,微分 是当自变量有,改变量 时,曲线 在点 处的纵坐标,的改变量。用 近似代替 ,
2、就是用点,处的切线的纵坐标的改变量 来近似代替曲线,的纵坐标的改变量 。,并且有:,当 时,,微分的几何意义:,四、微分的运算,因为函数 的微分为 ,所以根据导数公式,和导数运算法则就能得到相应的微分公式和微分运算法则 。,1、微分基本公式,2、函数的和、差、积、商的微分运算法则,3、复合函数的微分法则,(1) 当 为自变量时:,(2)当 不是自变量,而是 的可导函数 时:,复合函数 的导数为,于是,复合函数 的微分为,由此可知,不论 是自变量还是中间变量,函数,的微分总是保持同一形式,这一性质称为,一阶微分的形式不变性。,利用一阶微分的开式形不变性求复合函数的微分有,时比较方便。,解法一 用
3、公式 得,解法二 由一阶微分的开式形不变性,得,解法一 用公式 得,解法二 由一阶微分的形式不变性,得,例4 求方程 确定的隐函数,的微分 及导数,解 对方程两边求微分,得,应用微分的运算法则,得,故有,即,于是所求微分为,所求导数为,五、微分在近似计算中的应用,1、近似计算,在实际问题中,经常利用微分作近似计算。当函数,在点 处的导数 ,且 很小时,我们有近似公式,或,若 ,令 当 很小时,,当 很小时,由上式可推得,五、微分在近似计算中的应用,1、近似计算,在实际问题中,经常利用微分作近似计算。当函数,在点 处的导数 ,且 很小时,我们有近似公式,3)近似公式:,五、微分在近似计算中的应用
4、,1、近似计算,在实际问题中,经常利用微分作近似计算。当函数,在点 处的导数 ,且 很小时,我们有近似公式,2)求函数值:,证,其它几个公式也可用类似的方法证明。,例5 计算 的近似值。,解 设,则,例6 某球体的体积从 增加到 ,试求其半径,改变量的近似值。,解 设球的半径为 ,体积 ,则,由,所以,例7 计算 的近似值。,解,2、误差估计,设量 可以直接度量,而依赖于 的量 由函数,确定,若 的度量误差为 ,则 有相应的误差为,-称为量 的绝对误差,-称为相对误差,求出的误差称为误差的估计值。,例8 测得一圆柱的直径为43cm,并已知在测量中绝对误差,不超过0.02cm,试求用此数据计算圆
5、柱的横载面积时所引起的,绝对误差与相对误差。,解 圆柱横截面的面积为,由D的测量误差 所引起的面积 的计算误差 ,可用微分,来近似代替,即,所以绝对误差为,相对误差为,第五节 导数的一些实例,在实际问题中,常把导数称为变化率,因为对函数,表示自变量 每改变一个单位时,,函数 的平均变化率。,的变化率。,,求 时刻的电流。,解 在 时间内平均电流,当 很小时,平均电流 可以作为 时刻电流的近似值。,称为 时刻的电流 。,即,例2 在经济学中,边际成本定义为产量增加一个单位时,所增加的总成本,设产量为 时,成本为 求,产量为 时的边际成本。,这时总成本函数的平均变化率为,成本。,上式表示产量由 变
6、到 时,在平均意义下的边际,当总成本函数 可导时,其变化率,关于产量的导数。,表示该产品为 时的边际成本,即边际成本是总成本函数,例3 从一个铜矿中开采Tt铜矿的花费为 元,,意味着有2000t铜矿从矿中被开采出来时,再开采1t铜矿需花费,100元。,类似地,在经济学中,边际收入定义为多销售一个单位产品时,收入。,所增加的销售收入,即 ,这里 为销售量为 时的,例4 现将一气体注入某一球状气球,假定气体的压力不变,,问当半径为1cm时,气球的体积关于半径的变化率是多少?,解 气体的体积V与半径r之间的函数关系为,气体的体积关于半径的变化率即气体的体积关于,半径的导数,所以当 时,气体的体积关于
7、半径的变化率为,例5 电路中某点处的电流i是通过该点处的电量Q关于时间t,的瞬时变化率,如果一电路中的电量为 ,求:,(1)电流函数 ;,(2) 时的电流是多少?,(3)什么时候电流为30?,解 (1),(2),(3)解方程,即当 时,电流为30.,例6 已知某物体作直线运动,路程s(单位:m)与时间t,的速度和加速度。,解 物体运动的速度 和加速度 分别为,所以,例7 放射性元素碳14的衰减由下式给出:,其中 是 年后碳14存余的数量(单位: ),问碳14,的衰减速度(单位:g/a ,即克/年)是多少?,解 碳14的衰减速度 为,(g/a),例8 假设某钢棒的长度L(单位:cm)取决于气温H
8、,(单位: ),而气温H又取决于时间t(单位:h).,如果气温每升高1 ,钢棒长度增加2cm,而每隔,1h,气温上升3 ,问钢棒长度关于时间的增加有,多快?,解 已知长度对气温的变化率为,气温对时间的变化率为,将L看作H的函数,H看作t的函数,由复合函数求导的,链式法则,得,因此,长度关于时间的增长率为6(cm/h).,例9 设有一电阻负载 ,现负载功率从900W变到901W,求负载两端电压约改变了多少?,解 由电学知,即,则,因为自变量P由900W变到901W,变化量相对很小,所以,即负载两端电压U约改变了0.1V。,例10 某一负反馈放大电路,记其开环电路的放大倍数为A,,闭环电路的放大倍
9、数为 ,则它们二者有函数关系,当 时,由于受环境温度变化的影响,A变化了10,解 由于 时, ,用 近似计算 ,得,其中,的变化量约为,的相对变化量约为,例11 某公司生产一种新型的游戏程序,假如能全部出售,,收入函数为 ,其中 为公司一天的产量。如果,公司某天的产量从250增加到260,请估计公司当天收入的增,加量。,解 公司产量的增加量,用 估计收入的增加量为,例12 一机械挂钟的钟摆的周期为1s,在冬季摆长因热胀冷缩,而缩短了0.01cm,已知单摆的周期为 ,其中,问这只钟每天约快还是慢了多少?,解 因为钟摆的周期为1s,所以由,解得摆长为,又摆长的改变量 ,用 近似计算 得,将 , 代
10、入上式,得,这就是说,由于摆长缩短了0.01cm,钟摆的周期相应的,缩短了约0.0002s,小结,(1)在实际问题中,与变化率有关的问题都可归纳为导数,问题,求变化率就是求导数。,(2)当自变量变化很小时,可以函数的微分来近,似代替函数的增量。,(3)若 ,当 变化很小时, 的相对改变量为,拓展与延伸,1.导数的定义,(1)导数定义的两种等价形式,设函数 在点 处可导,则,或,解 因为,所以,当 时, 与 是等价无穷小,即,因为 在 处连续,所以,故,例2 已知 求 。,解,此题若用求导法则先求导函数,,再代入值,会比较繁琐。,(2) 利用导数定义可能求某些极限,例3 已知 , ,求 。,解,
11、例4 已知 在点 处可导,且 ,求 。,解 由第二重要极限及导数定义,得,2.分段函数的导数,例5 讨论函数 的导数.,解,不存在,因此,3.导数的几何意义,例6 设曲线 在点 处的切线与,轴的交点为 ,求,解 因为,所以切线为,令,得,则,截距之各和等于1.,例7 证明曲线 上任一点的切线截两坐标轴的,证 设曲线 上任一点为 ,则,曲线两边对 求导,得,即,所以曲线在点 处的切线为,整理即得,显然切线与两坐标轴交点分别为 故切线截两,坐标轴的截距之和为,4.求函数在某点的导数,例8 已知 ,求 。,解 将等式两边对 求导,得,将 直接代入上式,得,所以,5.隐函数、参数方程所确定的函数的二阶导数,例9 求 确定的隐函数的二阶导数,解 将等式两边对 求导,得,解得,再次在等式两边对 求导,得,例10 求参数方程 的二阶导数。,解,6、一题多解,例11 已知 ,求 。,解法一 对所给的方程式两边求导,得,在等式中取 ,此时 ,则有,解法二 因为,换元,得,故,则,
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