第8章系统的状态空间分析ppt课件.ppt
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1、第8章 系统的状态空间分析,第8章 系统的状态空间分析,8.1 状态空间描述 8.2 连续系统状态空间方程的建立 8.3 连续系统状态空间方程的求解 8.4 离散系统的状态空间分析 8.5 系统函数矩阵与系统稳定性,8.1 状态空间描述,8.1.1 状态变量和状态空间,根据第一章讨论,我们知道连续时间系统在任意时刻t0的状态是一组最少数目的数据x1(t0), x2(t0), ,xn(t0),这组数据连同时间间隔t0, t上的输入就足以确定系统在t时刻的输出(响应)。 描述系统状态变化的变量称为 状态变量。,图 8.1-1 系统的状态变量,对于图 8.1-1 的二阶网络,由KVL和KCL方程可得
2、,考虑到iC(t)=C duC(t)/dt和uL(t)=LdiL(t)/dt,可将上面两式写成:,若指定网络中的i(t)和u(t)为输出,则由图8.1 - 1可得,设系统有n个状态变量x1(t), x2(t), , xn(t)。以状态变量作为分量组成的n维列矢量x (t),称为系统的状态(列)矢量。记成矩阵形式为,状态变量在初始观察时刻(t=t0-)的值称为系统的初始状态。,图 8.1-2 状态轨迹,8.1.2 状态模型和状态空间方程,图 8.1-3 系统的输入输出模型,图 8.1-4 一阶动态系统,采用积分器模拟图8.1-4(a)中记忆元件特性时,该记忆元件的输入输出关系可表示为,x(t0)
3、已知,鉴于记忆元件的“拉”出过程,并没有改变系统内部各部分间的连接关系,因此可以用记忆元件和无记忆部分的输入输出关系来表征原系统的特性,即,图 8.1-5 动态系统的状态模型,设n阶LTI离散系统,它具有p个输入f1(k), f2(k), ,fp(k); q个输出y1(k),y2(k), , yq(k)。记系统的n个状态变量为x1(k), x2(k),xn(k), 则其状态方程是关于状态变量的一阶差分方程组,输出方程是关于输入、输出和状态变量的代数方程组。两组方程的标准形式可写为,x(k0)已知,式中,图 8.1-6 二输入二输出离散系统,对于图 8.1-6 所示的二输入二输出离散系统,如果选
4、择两个移位器的输出x1(k)、x2(k)作为系统的状态变量,则可在移位器的输入端写出状态方程:,在系统的输出端得到输出方程:,将上述两式写成矩阵形式, 则有,图 8.1-7 状态空间方程模拟框图,(1) 状态和状态变量的本质在于表征系统的记忆特性或动态特性。它概括了为了预知未来特性而必须知道的有关系统历史情况的信息,并以能量形式保存在系统中。因此,只有动态系统才存在状态和状态变量;而对于瞬时系统,则无状态和状态变量可言,自然也不存在状态空间描述问题。 (2) 根据状态、状态变量的定义及其状态模型,一般可选取独立记忆元件(储能元件)中与系统能量有关的物理量作为系统的状态变量。典型的状态变量有:机
5、械系统中与位能有关的位置变量,与动能有关的速度变量;电系统中与储存电场能有关的电容电压或电荷变量,与储存磁场能有关的电感电流或磁链变量;以及离散系统中移位器的输出变量等等。状态变量是一组独立变量,其数目等于独立记忆元件的个数,即系统的阶数。,(3) 设给定系统的状态矢量x()=x1() x2() xn()T,将x()作如下线性变换: ()=Px() 式中,()=1() 2() n()T,P为nn阶常数矩阵, 且|P|0。 由于求解式(8.1-16)总可以得到x(),因此,其()矢量同样也是满足状态和状态变量定义的。可见,给定系统的状态变量选择并不是惟一的。在实际应用中,通常选取那些概念明确、
6、测量容易并能使计算简化的物理量作为状态变量。例如,对于LTI电系统,可直接选取独立电容电压和电感电流或移位器输出信号作为状态变量。,(4) 根据状态空间方程, 以先由状态方程解出状态矢量x(), 然后由输出方程得到输出矢量y()。 x()提供系统的内部信息, y()给出系统的输出响应。这种利用状态空间描述方程分析系统的方法称为状态空间分析法。它是现代系统分析的理论基础。,8.2 连续系统状态空间方程的建立,8.2.1 直接编写法,第一步, 选取系统中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。 第二步,对与状态变量相联系的每个电容和电感分别列出独立的节点(或割集)KCL方程和回路KVL方程。
7、第三步,利用适当的KCL、KVL方程和元件伏安关系,消去上一步方程中可能出现的“非法”变量, 然后整理得出标准形式的状态方程。 第四步, 用观察法列出输出方程。,例 8.2-1 已知网络如图 8.2-1 所示,取图中电压u3和电流i2作为输出,试建立该网络的状态方程和输出方程。,图 8.2-1 例 8.2-1 图,解 取电感电流x1和电容电压x2为网络状态变量。 对接有电容的节点b列写KCL方程有,对含有电感的回路l1列写KVL方程为,该式中i2是“非法”变量,应予以消去。为此,列出回路l2的KVL方程:,考虑到节点a的KCL方程i1=i2+x1,上式可写成,从而有,整理式, 并代入各元件参数
8、值,得出网络状态方程为,例 8.2-2 写出图 8.2-2 网络的状态方程,图 8.2-2 例 8.2-2 图,解,取电容C1上电压x1、电容C2上电压x2和电感L5中电流x3作为状态变量。对节点a、b和回路l2列出相应的KCL和KVL方程,有,考虑到,(8.2 - 7),将该式代入式(8.2 - 7),然后整理得出状态方程为,若将导数运算符号作为一个算子写入系数矩阵, 则状态方程可写成如下标准形式:,8.2.2 由微分方程建立状态空间方程,情况 1 系统微分方程不含输入导数项。考察一个三阶系统,设其输入输出方程为,传输算子为,式中不含输入f(t)的导数项。 其算子方程可写为,图 8.2-3,
9、根据状态模型,我们选择信号流图中每个积分器的输出信号作为状态变量, 即,然后在各积分器的输入端写出状态方程, 得,其输出方程为,表示成矩阵形式有,设n阶线性时不变系统输入输出方程为,相应的算子方程和传输算子为,若选n维状态矢量为,图 8.2-4,例 8.2-3 已知描述系统的微分方程为,试建立该系统的状态空间方程。,解 令u(t)=4f(t),将给定微分方程改写为,代入各系数值,可以得出状态空间方程为,即,情况 2 系统微分方程含有输入导数项。我们仍然先用一个简单系统来说明状态空间方程的建立过程,然后将结果推广到n阶系统。 设一个三阶连续系统的输入输出方程为,相应的算子方程和传输算子为,为了利
10、用情况1中得到的结果,我们引入辅助变量q,令,整理后比较等号两边诸项, 得,同理, 选每个积分器输出信号作为状态变量, 有,在积分器输入端写出状态方程, 整理成矩阵形式为,由信号流图得出输出方程为,将上述讨论结果推广到一般n阶系统。设n阶系统的输入输出方程为,写出相应的算子方程和传输算子为,引入辅助变量q, 将式(8.2 - 30)写成如下两个方程:,图 8.2 - 6 给出了该式的信号流图表示。 若选n维状态矢量为,图 8.2-5,图 8.2-6,则描述式(8.2 - 29)系统的状态空间方程具有如下形式:,由于在微分方程中出现了输入的导数项,使输出方程中系数矩阵C发生了变化。当mn时,输出
11、方程中的D矩阵仍为零。 若m=n, 信号流图中节点xn、y间出现增益为bm=bn的支路,这时输出方程变成,例 8.2-4 设三阶系统的输入输出微分方程为,试建立其状态空间方程。,解 系统传输算子为,图 8.2-7 例 8.2-4 图,在信号流图输出节点写出输出方程,整理成矩阵形式为,利用状态空间方程容易推导出y(t)、y(t)和y(t)与状态变量之间的相互关系,对于本例有,如果已知系统的初始条件y(0-)、y(0-)和y(0-),将它们代入上述各式,并考虑到t=0-时f(0-)=0,即可联立求解得到系统的初始状态x1(0-)、x2(0-)和x3(0-)。 由上讨论可知,依据系统微分方程建立状态
12、空间方程的步骤是: 第一步, 由系统微分方程确定系统的传输算子H(p), 并画出它的信号流图表示; 第二步,选信号流图中积分器的输出信号作为系统的状态变量; 第三步,在各积分器的输入端写出状态方程; 第四步,在信号流图的输出端(汇总)写出输出方程。,8.2.3 由系统函数建立状态空间方程,设LTI连续系统的系统函数为,图 8.2-8 直接形式模拟,例 8.2-5 给定系统的系统函数为,解,形式 1 采用图 8.2-8 所示的直接形式信号流图模拟H(s)。我们在形式上将H(s)的信号流图看成是H(p)的信号流图,将其中的S域信号F(s)、Y(s)视为时域信号f(t)、y(t); 将“s-1”视为
13、积分算子“p-1”。选择三个积分器的输出信号x1、x2和x3作为状态变量,在积分器的输入端列出状态方程,在输出端列出输出方程,整理成矩阵形式有,形式 2 采用直接形式信号流图模拟系统函数H(s)。由于此时,积分器的输出信号并非一定是后接节点的变量信号(可以还有其它支路的输入信号),为了便于选择状态变量,画模拟信号流图时,应在有关积分器的输出端增加一个辅助节点和一条增益为1的辅助支路。,图 8.2-9 直接形式模拟,形式 3 设系统函数H(s)具有单极点,其部分分式展开式为,选积分器的输出为状态变量, 则可得,和,写成矩阵形式为,图 8.2-10 并联方式模拟,8.3 连续系统状态空间方程的求解
14、,线性时不变连续时间系统的状态空间方程为,对于具有p个输入、q个输出的n阶系统,上式中x(t)、f(t)和y(t)分别是n维状态矢量、p维输入矢量和q维输出矢量,矩阵A、 B、 C、 D都是常数矩阵。,8.3.1 状态空间方程的时域解法,设标量状态方程为,将上式两边同乘以e-at,移项后得,即,上式等号两边取0-到t的积分,得,若标量函数f(x)可以展开为如下收敛的幂级数:,两边同乘以eat,并整理得,则定义函数,例如,指数函数ext的收敛幂级数为,因此, 可定义相应的矩阵指数函数为,例 8.3-1 已知方阵,求其矩阵指数函数eAt,解,可见,一个n阶方阵A,其矩阵指数函数eAt仍是n阶方阵。
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