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1、数学建模概论,数学建模基地,数学模型(Mathematical Model) 是用数学符号、数学式子、程序、图表等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供一定意义下的最优策略或较好策略。 数学建模(Mathematical Modeling) 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型并求解的全过程。,1.1 数学模型与数学建模,例(万有引力定律的发现 ),十五世纪中期 ,哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 (推翻亚里士多德的
2、天体不变的学说)。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律,利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。,如图,有椭圆方程 :,矢径所扫过的面 积A的微分为:,由开普勒第二定 律:,常数,立即得出:,即:,椭圆面积,由此得出,常数,简单推导如下:,我们还需算出行星的加速度,为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的,以太阳为坐标原点,沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j,于是:,进而有 加速度,以行星为坐标原点建立活动架标,其两个正交的单位向量分别是,因此得出,也就是说
3、行星的加速度为,那么就导出著名的 万有引力定律:,1.了解问题的实际背景,明确建模目的,收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计 算, 找出起主要作用的因素,经必要的精炼、简化,提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上,利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。,1.2 数学建模的一般步骤,1.3 数学模型的分 类,数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼,在调查研究阶段,需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时,又需要用到 想象力和
4、归纳 简化能力。 在真正开始自己的研究之前,还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作,使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复,你可以把某些已知的研究结果用作你的假设,去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的,建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。,1.4 数学建模与能力的培养,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处,然 然后他妻子开车接他回家。有一天,他比平时提早 了三十分钟到达该处,于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子,这一天,他 比平时提前了
5、十分钟到家,问此人共步行了多长时 间?,1.5 一些简单实例,似乎条件不够哦 。,请思考一下,本题解答中隐含了哪些假设 ?,分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明,当 然 ,这里的情况要简单得多。,设砖块是均质的,长度与重量均 为1,其 重心在中点1/2砖长处,现用归纳法推导。,由第 n块砖受到的两个力的力矩相等,有: 1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n),从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ,,故砖块向右可叠至 任意远 ,这一结果多少 有点出人意料。,AB发出车次显然是一样多的, 否则一处的车辆将会越积越多。,黑匣子所在 方向很容易确定,关键在于确定 距离 。设在同一方向不同位置检测了两次,测得的照度分别为I1和I2,两测量点间的距离为 a,则有,在方法一中,两检测点与黑匣子 位于一直线上,这一点比较容易 做到,主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高,很少的误差会造成结果的很大变化,即敏感性很强,现提出另一方法,在 A点测得黑匣子方向后 ,到B点再测方向 ,AB 距离为a ,BAC=,ABC=,利用正弦定理得出 d = asin/sin (+) 。需要指出的是,当黑匣子位于较远处而 又较小时,+可能非常接近(ACB接近于0),而sin(+)又恰好位于分母上,因而对结果的精确性影响也会很大,为了使结果较好,应使a也相对较大。,
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