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1、第一章 数学建模概述,1.1 数学的应用与数学建模 1.2 数学建模的基本问题 1.3 数学建模示例 1.4 插值法与最小二乘法简介,1.1 数学的应用与数学建模,数学广泛地应用于各个领域,如:传统的物理学、天文学、力学,及现代的工程技术、社会生活、信息技术等。 计算机技术的发展为数学的广泛应用创造了条件,尤其是一些数学软件的开发使用,使得很多数学思想、方法得以实现。,生物学,航空宇宙,滤波设计,动力传输系统,数学模型 (Mathematical Model) 数学建模(Mathematical Modeling),1.1 数学的应用与数学建模,对于一个现实对象,为了一个特定目的, 根据其内在
2、规律,做出必要的简化假设, 运用适当的数学工具, 得到的一个数学结构,数学模型 (Mathematical Model),数学模型是实际对象的一种抽象模拟,它用数学符号、数学公式、图表、算法或程序描述现实对象中的数量关系。,数学建模(Mathematical Modeling),建立数学模型的全过程 (包括表述、求解、解释、验证等),数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检
3、验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,1.2 数学建模的基本问题,数学建模的方法,数学建模的基本过程,数学模型的分类,怎样学好数学建模,数学建模竞赛,测试分析的方法:对客观事物的特性不能准确认识,只能通过对问题的观测数据的测量和分析,找到与数据吻合最好的模型。 如:回归分析方法,方差分析方法等。,数学建模的方法,机理分析的方法:根据对客观事物特性的认识,分析其因果关系,通过推理分析得到的数学模型。 如:微分方程方法,最优化方法等。,数学建模的基本过程,1.模型准备 了解问题的实际背景,明确建模目的, 收集掌握必要的数据资料。 2.模型假设 在明确建模目的, 掌握必要资料的基础上, 通过对资料
4、的分析计算, 找出起主要作用的因素, 经 必要的精炼、简化, 提出若干符合客观实际的假设。 3.模型建立 在所作假设的基础上,利用适当的数学工 具去刻划各变量之间的关系, 建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解 选择适当的方法(解析法、数值法、画图法等)求解数学模型。 5.模型的分析与检验 对模型进行理论或计算分析,并用实际数据检验是否符合实际。,数学模型的分类,怎样学好数学建模,数学建模与其说是一门技术,不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人做过的模型,亲自动手,认真做几个实际题目,数学建模竞赛,美国大
5、学生数学建模竞赛:1985年至今,每年一次,时间在2月初的第一个周五至下周二,共96小时。三名学生组成一队参赛,要完成以包括数学建模全过程为素材撰写的论文(英文)。,全国大学生数学建模竞赛:1992年至今,每年一次,时间在9月下旬第一个周五至下周一,共72小时。三名学生组成一队参赛,要完成以包括数学建模全过程为素材撰写的论文。,1.3 数学建模示例,1.3.1 稳定的椅子,1.3.2 商人安全过河,1.3.4 人口增长预测,1.3.3 传送系统效率,1.3.1 稳定的椅子,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形;,地面高度连续变
6、化,可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是 的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,两个 距离,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知: f() , g()是连续函数 ; 对任意, f() g()=0 ;且 g(0)=0, f(0) 0. 证明:存在
7、0,使f(0) = g(0) = 0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,模型构成,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900,对角线AC和BD互换。 由g(0)=0, f(0) 0 ,知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,建模的关键 :,假设条件的本质与非本质,考察四脚连线呈
8、长方形的椅子,和 f(), g()的确定,问题(智力游戏), 3名商人 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多), 经有限步使全体人员过河.,1.3.2 商人安全过河,模型构成,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1
9、,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dk D (k=1,2, n), 使sk S, 并按状态转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ,d11给出安全渡河方案,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一名随从
10、的情况,允许状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,背景,1.3.3 传送系统的效率,在机械化生产车间里你可以看到这样的情景:排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品,工作台上方一条传送带在运转,带上设置着若干个钩子,工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走。,1.3.3 传送系统的效率,问题,衡量这种传送系统的效率可以看它是否及时地把工人们生产的产品带走。显然在工人数目不变的情况下传送带速度越快,带上钩子越多,效率会越高。我们要构造一个衡量传送系统效率的指标,并且在一些简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人数目,钩子数量
11、等参数的关系.,问题分析,系统稳态,生产系统的周期性运转,传送系统的效率,一个周期的效率,一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例作为衡量传送带效率的数量指标,1.3.3 传送系统的效率,问题分析,每人做完一件产品后,要么恰有空钩经过他的工作台,使他可将产品挂上运走,要么没有空钩经过,迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。,工人们生产周期虽然相同,但稳态下每生产完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的,并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。,系统稳态,生产系统的周期性运转,工人们的生产周期(生产一件产品的时间)相同,1.3.3 传送系统的效率,系统稳态,生产系统的周期性运转,工人们
12、的生产周期(生产一件产品的时间)相同,生产完一件产品的时刻是随机的 且在一个周期内任一时刻的可能性相同,问题分析,挂上产品的时刻也是随机的,一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例作为衡量传送带效率的数量指标,1.3.3 传送系统的效率,模型假设,1)n个工作台均匀排列,n个工人生产相互独立, 生产周期是常数;,2)生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的;,3)一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的;,4)每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走; 若该钩非空,则这件产品被放下,退
13、出运送系统。,1.3.3 传送系统的效率,模型建立,为确定s,从工人考虑还是从挂钩考虑,哪个方便?,传送带效率=,=s /n=D,定义:,从工人的角度考虑,工人能将自己的产品挂上钩子的概率与工人所在位置有关,在稳态下钩子没有次序,处于同等的地位,从钩子的角度考虑,1.3.3 传送系统的效率,模型建立,从钩子的角度考虑:,若求出一周期内每只挂钩非空的概率p,则 s=mp,设每只挂钩为空的概率为q,则 p=1-q,设每只挂钩不被一工人触到的概率为r,则 q=rn,设每只挂钩被一工人触到的概率为u,则 r=1-u,u=1/m,一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方,如何求概率P,1.3.3 传送系统
14、的效率,模型解释,若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则,传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比),定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比),提高效率的途径:,增加m,当n远大于1时, E n/2m E与n成正比,与m成反比,若n=10, m=40, D87.5% (89.4%),1.3.3 传送系统的效率,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,1.3.4 人口增长预测,目的,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,N(t) 时刻t的人口,基本假设: 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 N0 , 年增长率
15、 r=b-d,,k 年后人口,随着时间增加,人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后,增长率下降的原因:,1. 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,2. 阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率 (N很小时),Nm人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),N(t)S形曲线, N增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),阻滞增长模型有
16、一个稳定的平衡值Nm ,这比指 数增长模型更符合实际。,利用美国人口统计数据,检验上述两个模型,取r=0.03134, Nm=197273000, 得到的计算结果 显示逻辑增长模型与实际误差更小。,这里的参数r和Nm是专家估计给出的,实际上, 它们包括N0都可以通过参数估计得到。,阻滞增长模型(Logistic模型),对模型取对数,得,用线性最小二乘法(利用计算机计算)可求得 参数a和r,从而得到N0和r。,利用美国1790-1900年数据,算得 N0=4.1184(百万), r=0.2743(每10年),阻滞增长模型(Logistic模型),由,利用数值微分可算出右端值,再利用线性最小 二乘
17、法,即可求得r和s。,利用美国1860-1990年数据计算得 Nm=392.0886, r=0.2557,1.4 插值法与最小二乘法简介,在实际中常常会遇到这样的问题: 不知道函数 y = f(x)的具体表达式,只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值, 要求一个函数 使其通过这组点,即 这就是插值问题。函数 称为 的插值函数, 称为插值节点。,1.4.1 插值方法,已知函数 在 k+1 个互异点 的函数值 ,要求一个次数小于等于 k 的多项式 使得 称为 的插值多项式。,多项式插值,常见的多项式插值有: Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等。,Lagrange插值多
18、项式具有如下形式,k=1 时,Lagrange插值也称为线性插值,其几何意义就是通过两点 的直线.,k=2时,Lagrange插值称为二次插值,其几何意义为通过三点 的抛物线。,多项式插值的缺点: 当插值节点较多时,高次插值会出现计算不稳定,如 Runge 现象等。,1.4.2 拟合法,当 是由实验和观测得到的,其函数通常是由表格 给出,若要求曲线 逼近函数 ,通常由于观测有误差,插值条件 不一定成立。,最小二乘法的基本思想是:寻找最合适的模型参数,使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。,假设已建立了数学模型,其中,,是模型参数。,已有一组已知数据,用最小二乘法确定参数 c,即是求
19、 c 使,最小。,称为数据,的最小二乘拟合函数。,最合适的 c 应满足必要条件,1、线性最小二乘法,当函数 y=f (x, c)是参数c的线性函数时,即,最小二乘法称为线性最小二乘法。其中,是一组线性无关的函数,这组函数的选取直接影响拟合效果。,例如,当选取,时,模型函数,由前面的必要条件,可得线性方程组,求解上述方程组,即可得到参数 c1, c2 .,2、非线性最小二乘法,在最小二乘拟合中,如果拟合函数 y = f( x, c) 中的参数不完全是线性的,则为非线性最小二乘拟合。在实际中,常常通过变换将其化为线性模型,则线性最小二乘法仍可以使用。,以前面的指数增长模型为例,已知美国1790-1900年的人口数据,估计指数模型,中的参数 N0 与 r.,N0 与 r不是线性关系,对指数模型两边取对数,得,记y = lnN(t), a=lnN0 ,则有,a 与 r 是线性关系,于是得到数据,利用线性最小二乘拟合,可算得a =1.4323, r = 0.2743.,进而得到N0 =4.1884.,
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