第一章随机事件与概率.ppt
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1、第一章 随机事件与概率,随机事件 事件的概率 条件概率 事件的独立性,第一章 随机事件与概率 概念(随机试验、事件、概率、条件概率、独立性) 四个公式(加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式),(1) 加法公式:对任意两事件A、B,有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1,A2,An的情形.,(2)乘法公式:设A、B,P(A)0,则 P(AB)P(A)P(B|A) 上式就称为事件A、B的概率乘法公式。,上式还可推广到三个事件的情形: P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地,有下列公式: P(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A
2、1An1),设A1,, An是的一个划分, 且P(Ai)0,(i1,n), 则对任何事件B 有,(3)全概率公式:,(4)贝叶斯公式:,设A1,, An是的一个划分,且P(Ai) 0,(i1,n),则对任何事件B , 有,概型(古典概型、伯努利(Bernoulli)概型),设事件A中所含样本点个数为nA,以n记样本空间中样本点总数,则有,(1)古典概型中的概率,概型(古典概型、伯努利(Bernoulli)概型),(2)伯努利概型中的概率,在伯努利试验中,若事件A发生的概率P(A)=p(0p1),则在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为 其中q=1p,k=0,1,2,n. 上式也称为伯努
3、利公式.,第二章 随机变量,随机变量的概念 离散型随机变量及其分布 分布函数 连续型随机变量及其分布 随机变量函数的分布,随机试验的结果数量化 随机变量 数学方法 概率问题 随机试验结果的概率研究问题 随机变量的概率分布问题,随机变量引入的意义,关于随机变量(及向量)的研究,是概率论的中心内容这是因为,对于一个随机试验,我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量,而这些量就是随机变量也可以说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观点,一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样,概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一
4、个更高的理论体系,其基础概念是随机变量随机试验的结果数量化,定义. 设=是试验的样本空间,如果量X是定义在上的一个单值实函数,即对于每一个 ,有一实数X=X()与之对应,则称 X=X()为随机变量。随机变量常用X、Y、Z 等表示。(变异性和随机性),随机变量的特点:,1. X的全部可能取值是互斥且完备的,2 .X的部分可能取值描述随机事件,?,请举几个实际中随机变量的例子,EX例2.1例2.5 借助于随机变量可以方便地表述随机事件,随机变量的分类: 随机变量,离散型随机变量,(P43)定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X
5、为离散型随机变量,而称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, ), 或,X x1 x2 xK Pk p1 p2 pk ,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),例1 设袋中有5只球,其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回),求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0,1,2,分布律的性质,例2.某射手对目标独立射击5次,每次命中目标的概率为p,以X表示命中目标的次数,求X的分布律。,解:设Ai第i次射击时命中目标,i=1,2,3,4,5 则A1,A2,A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,5.
6、X=0,1,2,3,4,5,(1-p)5,几个常用的离散型随机变量,1. 两点分布 XB(1,p) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数,则称X服从两点分布(01)分布) X PX kpk(1p)1k, (0p1) k0,1 或,两点分布来自于伯努利试验,所以两点分布又称为伯努利分布,它是最简单的离散型分布。,若以X表示n重伯努利试验事件A发生的次数,则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作XB(n,p) ,其分布律为:,2.二项分布,二项分布是概率统计中重要的离散型分布之一,它涉及的是n重伯努利试验。也就是说各次试验是独立的,且各次试验条件是稳定的。现实生活中的许多现象程度不同地符合这个条
7、件。如产品的质量检验,从N个产品中有放回地取出n个,其中所含的次品数X就服从二项分布。,例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:,例4. 某人射击的命中率为0.02,他独立射击400次,试求其命中次数不少于2的概率。,解:设X表示400次独立射击中命中的次数, 则XB(400, 0.02),故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.983
8、99) =? 不能轻视小概率事件:一个事件尽管它在一次试验中发生的概率很小,但只要试验次数足够多,而且试验是独立进行的,那么这一事件的发生几乎是肯定的。,3. 超几何分布,定义2.6 随机变量XH(n,M,N),若随机变量X的分布律为 , k=0,1,2,l, 其中l=minM,n;MN;nN, 则称随机变量X服从超几何分布,记作XH(n,M,N). 超几何分布产生于不放回抽样试验,常见于产品检验中。,注意:超几何分布中,在取n个产品时,采用的是不放回抽样方式,因此每次抽取时,优质品率都不一样。若采用的是放回抽样方式,则每次抽取时,优质品率都一样,同为M/N,这是抽取的n个产品中所含优质品数X
9、就服从以n,M/N为参数的二项分布,其分布率为 由此可见,按有放回与不放回两种不同的抽取方式,所得的概率不一样。但从直观上分析,当产品总数N很大而抽取数n又不大时,采取放回抽样与不放回抽样,每次抽得优质品的概率相差不大。,事实上,可以证明: 因此,当N很大而n相对于N又较小时(一般需 n/N ),可以用二项分布近似代替超几何分布,即: 其中pM/N,q1-p,这时,可把不放回抽样当做放回抽样处理。,例5 某种子公司宣称其经营的水稻种子的良种率高达98%.一供销人员随即表示若任意抽取的100粒稻种中劣种不超过1粒则购买之,求供销人员买此稻种的概率.,解 此时应进行不放回抽样.若令X表示抽到的10
10、0粒稻种中的劣种数,则X应服从超几何分布.但由于种子公司稻种的总数N显然很大,相比之下,100粒的抽取数是微乎其微的.从而可认为X近似地服从二项分布B(100,0.02),于是供销人员购买此稻种的概率为,4. 泊松(Poisson)分布 XPXk , k0, 1, 2, (0),泊松定理 设随机变量XnB(n, p), (n0, 1, 2,), 且n很大,p很小,记=np,则,泊松定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布, 当n很大,p很小时,二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布,而泊松分布的概率计算问题可通过查泊松分布表(见附表1)完成。,例4. 某人射击的命中率为0.02,他独立射击
11、400次,试求其命中次数不少于2的概率。,解 设X表示400次独立射击中命中的次数, 则XB(400, 0.02),故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=,上题用泊松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故 近似地有,PX21 PX0P X1 1(18)e80.996981.,例6.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解:由题意,X服从参数是的泊松分布,例7. 某储蓄所开有1000个资金账户,每户资金10万元。假设每日每个资金账户到储蓄所提取2
12、0现金的概率为0.006,问该储蓄所每日至少要准备多少现金才能以95以上的概率满足客户提款的需求? 解 设每日提取现金的账户数为X,于是每日提取现金的总数为2X万元。又设储蓄所准备的现金数为x万元,由题设,应求最小的x,使得 而XB(1000,0.006),有,由泊松定理,注意到 。上述不等式可近似表示为 查 的泊松分布表,得 。 即 ,故储蓄所每日至少应准备20万元现金。 泊松分布主要用来描述大量重复试验中稀有事件(即概率较小的事件)出现的次数。,泊松分布是概率论中最重要的分布之一。在实际应用泊松分布主要用来描述大量重复试验中稀有事件(即概率较小的事件)出现的次数。如某时间段中来到公用设施前
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