届数学高考复习全套精品第单元第节平面向量的数量积及平面向量的应用举例.ppt
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1、第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例,基础梳理,1. 两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b, 则AOB=叫做向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角的范围是 0180 ,a与b同向时,夹角= ;a与b反向时,夹角= . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角=90,则a与b垂直,记作 .,ab,2011届高考迎考复习更多资源请点击:,http:/,高中教学网,2. 平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量 叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,并规定:零向量与任一向量的数量积为
2、 . (2)一向量在另一向量方向上的投影 定义:设是非零向量a和b的夹角,则 叫做 a在b的方向上的投影,|b|cos叫做 投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当090时,它是 ,当90180时,它是 ,当=90时,它是 . ab的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与 的投影|b|cos 的乘积.,|a|b|cos ,|a|b|cos ,0,|a|cos ,b在a方向上,正数,负数,0,b在a方向上,3. 向量的数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae= |a|cos . (2)ab ab= 0. (3)当a与b同向
3、时, ab=|a|b|. 当a与b反向时, ab=-|a|b|. 特别地:aa=a2=|a|2或|a|= . (4)|ab| |a|b|. (5) (是a与b的夹角).,4. 向量数量积的运算律 (1)ab= ba (交换律); (2)(a)b= (ab) = a(b) (数乘结合律); (3)(a+b)c= ac+bc (分配律).,5. 平面向量数量积的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)ab= x1x2+y1y2. (2). (3).,(4)若a与b夹角为,则. (5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则,6. 平面向量在平面几何中的应
4、用 用向量方法解决几何问题一般分四步: (1)选好基向量; (2)建立平面几何与向量的 联系 ,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题; (3)通过 向量运算 研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (4)把运算结果“翻译”成 几何关系.,典例分析,题型一 数量积的运算 【例1】 (2009广东联考)已知向量 ,且. 求ab及|a+b|. 分析 利用数量积的坐标运算及性质,注意x的取值范围.,解,学后反思 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三
5、角恒等变换的相关知识,分析求模类型.,举一反三,1.(2010广州综测)已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin ,cos ). (1)若|AC|=|BC|,求tan的值; (2)若(OA+2OB)OC=1,其中O为坐标原点,求sin2的值.,分析: (1)利用模长公式 求解。(2)利用向量垂直的充要条件,通过坐标表示列方程求k,解: 由已知得,,学后反思 (1)利用数量积求解模长问题是数量积的重要应 用,根据实际合理选择以下公式: , ,(2)非零向量 是非常重要的性质,它对于解 决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握;若,举一反三 2(2009湖北)已知向量 c=(-1,0
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