第二章静电场.ppt
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1、第二章 静电场,本章重点:,本章难点:,静电势及其特性、分离变量法、镜象法,分离变量法(柱坐标)、电多极子,第二章,静 电 场,静电场的基本特点:,边值关系:,基本方程:,介质分界面上的束缚电荷:,电磁性质方程:,2.1 静电势及其微分方程,一、静电场的标势,二、静电势的微分方程和边值关系,三静电场的能量,本节主要内容,1静电势的引入,一、静电场的标势,2、电势差, 两点电势差与作功的路径无关,(2)电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点,否则积分将无穷大。,3、电荷分布在有限区几种情况的电势,(1)点电荷,(2)电荷组,(4)连续分布电荷,二、静电势的微分方程和边值关系,电势满足的方程,
2、导出过程,2静电势的边值关系,(1) 两介质分界面,由于导体表面为等势面,因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上,并考虑导体内部电场为零,则可以得到第二个边值关系。,(2)导体表面上的边值关系,三静电场的能量,一般方程: 能量密度,总能量,导出过程:,该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区,而 且存在于整个场中。,同理,平面为等势面(Z = 0的平面)。,求近似值:,若电偶极子放在均匀介质中(无限大介质):,均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近,介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加,设 为束缚电荷,,56页例2
3、 (自学),此题也可用高斯定理(积分形式)求解。,第二章第二节,唯一性定理,2.2 唯一性定理,、泊松方程和边界条件,二、唯一性定理的内容,三、唯一性定理的意义,主要内容,、泊松方程和边界条件,假定所研究的区域为V,在一般情况下V内可以有多种介质或导体,对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。 设V内所求电势为 ,它们满足泊松方程,内边界条件为边值关系,注:在实际问题中,因为导体内场强为零,可以不包含在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。,二、唯一性定理,1均匀单一介质,令,由格林第一公式,见课本81页,介质分区均匀(不包含导体),(证明见书P60),区域V内电场唯一确定,均匀单一
4、介质中有导体(证明见教材),三、唯一性定理的意义,更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解,只要该解满足泊松方程和给定边界条件,则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题,可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程,而是通过提出尝试解,然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解,若不满足,可以加以修改。,唯一性定理给出了确定静电场的条件,为求电 场强度指明了方向。,四、应用举例,半径为a的导体球壳接地 壳内中心放置一个点电荷 Q,求壳内场强。,解:点电荷 Q 放在球心处,壳接地,因而腔内场唯一确定。,不满足,已知点电荷产生的电势为,但它在边界上,要使边界上任何一点电势为
5、0 ,,设,它满足,根据唯一性定理,它是腔内的唯一解。,可见腔内场与腔外电荷无关,只与腔内电荷Q有关。,解:导体球具有球对称性,电荷只分布在外表面上。,假定电场也具有球对称性,则电势坐标与,导体表面电荷Q已知,电场唯一确定。设,带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介 质中,求空间电势分布。,在导体边界上,3两种均匀介质( 和 ) 充满空间,一半 径 a 的带电Q导体球放 在介质分界面上(球心 在界面上),求空间电 势分布。,对称性分析:,在两介质分界面上:,试 探 解,确定常数,导体球面上面电荷分布:,束缚电荷分布:,其他实例:,第二章第三节,分离变量法,2. 3 拉普拉斯方程的解 分
6、离变量法,1、空间 ,自由电荷只分布在某些介质(或导 体)表面上,将这些表面视为区域边界, 可用 拉普拉斯方程。,一、拉普拉斯方程的适用条件,2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布,则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。,一般所求区域为分区均匀介质,则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和,即 , 为已知自由电荷产生的电势, 不满足 , 为束缚电荷产生的电势,满足拉普拉斯方程,二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式,1、直角坐标,(1)令,令,(2)若,注意:在(1)、(2)两种情况中若考虑了某些边界条件, 将与某些正整数有关,它们可取1,2,3, ,只有对它们取和
7、后才得到通解。,柱坐标,3球坐标,缔合勒让德函数(连带勒让德函数),-为勒让德函数,三解题步骤,根据具体条件确定常数,选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状,参考点主要根据电荷分布是有限还是无限;,分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解;,(1)外边界条件: 电荷分布有限,注意:边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界,给定 (接地 ),或给定总电荷 Q,或给定 。,(2)内部边值关系:介质分界面上,一般讨论分界面无自由电荷的情况,四应用举例,1、两无限大平行导体板,相距为 ,两板间电势 差为V (与 无关),一板接地,求两板间的 电势 和 。,(4
8、) 定常数:,解:(1)边界为平面,选直角坐标系;上、下两平板接地,取为参考点;且当,(3)确定常数 A,B,C,D,k,通解,(m = 奇数) (m = 偶数),令,解:电荷分布在无限远,电势零点可选在有限区,为简单可选在导体面 r = a 处,即 选柱坐标系。,对称性分析:,补充题1长方形盒的长为A、宽为B、高为C,上盖电位为 ,其余接地,求盒内的电位分布。,补充题2无穷长导体圆筒,半径为a,厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片,相互绝缘。其中的一半的电位为 ,另一半电位为 ,求圆筒内的电位分布。,4一半径为 a,介电常数为 的无 限长电介质圆柱,柱轴沿 方 向, 方向上有一外加均匀电
9、 场 ,求空间电势分布和柱面 上的束缚电荷分布。,(2) 考虑对称性电势与z无关,设柱内电势为 ,柱外为 它们分别满足 , 。通解为:,两边 为任意值, 前系数应相等( ),(4)解为,(5)求柱内电场:,仍沿x方向,(6)柱面上束缚面电荷分布,(7)若圆柱为导体,可用上述方法重新求解,或令,5如图所示的导体球(带电Q)和不带电荷的导体球壳,用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。,解:(1)边界为球形,选球坐标系,电荷分布在有限区,选,若将Q移到壳上,球接地为书中P64例题,(3)确定常数, 在导体壳上,(5)球壳上的感应电荷,壳内面,以上结果均与高斯定理求解一致。,6均匀介
10、质球(介电常数为 )的中心置一自由电偶极子 ,球外充满另一种介质(介电常数为 ),求空间各点电势和束缚电荷分布。,解: (1) 与 的边界为球面,故选球坐标系,电荷分布在有限区,选,(2)设球内电势为 ,球外电势为 ,球外无自由电荷分布,电势满足 。但球内有自由偶极子,不满足拉普拉斯方程,但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化,极化电荷分布在偶极子附近和球面上。自由偶极子在介质中产生的电势,所以,满足,考虑轴对称:,(3)确定常数,R,边值关系,并注意到,(4)电势解为,(5)球面上束缚(极化)电荷分布,答案:,注意:,答案:,作业: 1、2、4、5 补充题 3、4 选作:6 *、补充题 1、2
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