第二节留数.ppt
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1、第二节 留 数 一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考 1 一、留数的引入 设为的一个孤立奇点; 内的洛朗级数:在 . 的某去心邻域 邻域内包含的任一条正向简单闭曲线 2 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 3 定义 记作 的一个孤立奇点, 则沿 内包含的 任意一条简单闭曲线 C 的积分的值除 后所得的数称为以 如果 4 二、利用留数求积分 说明: 2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数. 1.留数定理在区域 D内除有限个孤 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 立奇
2、点 函数 5 证 证毕 两边同时除以 且 . . . 如图 6 2.留数的计算方法 (1) 如果为的可去奇点, 如果 为 的一级极点, 那末规则1 成洛朗级数求 (2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则 展开则需将 7 如果 为 的 级极点, 规则2 证 那末 8 +(含有 正幂的项) 两边求阶导数, 证毕 得 9 规则3 如果 设及在都解析, 证 的一级零点,为 的一级极点.为 那末为 的一级极点, 且有 10 解析且在 因此 其中 在 解析且 为 的一级极点, 11 三、在无穷远点的留数 注意积分路线取顺时针方向 说明 记作 1.定义 设函数在圆环域内解析, C
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