第二部分光波的数学表述及叠加原理.ppt
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1、,第二章 光波的数学表述 及叠加原理,2.1 光波及其数学表述,单色平面波,一、简谐波(simple harmonic waves)的表达式, 为波动的波长,即具有同一振动相位的空间两相邻点之间的距离。,即2长度内所含的 波长数目。,为频率,即单位时间内振动的次数。,角频率,波动的传播速度,角波数,初相位为、周期为T、波长为的简谐波,对于机械波, y 表示位移;对于电磁波, y表示电场强度 E 或磁感应强度B;它们都随时间和空间连续地作周期性变化,波的强度正比于A2。,真空中的Maxwell方程组:,对于E,微分方程为,二、光波的数学表述 单色平面波,设波长为,传播方向为 z,则上式的解为:,
2、定义一矢量 k,其大小等于k,方向为波的传播方向,则可推广到任意方向传播的波。,是空间任一点的位置矢量,“单色”指波只有单一频率;“平面”指在 kr = 常量的空间各点所组成的平面上的相位都相等,即等相面(波面)为一平面,2. 相位差与距离之间的关系为,1. 单色平面波,在空间某点 r 处,随着时间的推移,振动的相位将发生变化;在某一时刻 t,在传播方向上的不同点之间也存在着相位的差异。这是由于两点的距离所引起的相位差。,单色平面波,3. 用指数复函数来表示简谐波:,复振幅(complex amplitude):,相位因子:,用复函数表示波动,在运算中带来方便,只有复函数中E的实数部分才代表真
3、正的物理量。,代入,将,麦克斯韦方程组:,可得:,代入,可得:,k方向上的单位矢量,E、B、k 这三矢量相互垂直,构成右手螺旋定则,E = c B。 E和B都与传播方向 k 垂直,故光波是横波。,这是一个沿 z 轴传播的单色平面波,电矢量 E在平面 xoz 内振荡,而磁矢量 B则在平面 yoz 内振荡。光矢量E不是对称分布而是有一定取向,这种具有偏向性的振动状态为偏振。,偏振面为oxz平面的偏振光,沿 z 轴传播的单色平面波的简谐波动形式:,2.2 球面波及高斯波,单色平面波并不是Maxwell方程组唯一的解,一些在光学中经常遇到的波如:球面波和高斯波也是它的解。,一、球面波与高斯波的产生及特
4、点,球面波 1. 产生:从点光源发出的传播到不太远距离处的光波 2. 特点:等相位面和等振幅面都为球面,高斯波 1. 产生:从激光器发出的光波(激光) 2. 特点:等相位面上的光强(振幅)呈高斯函数分布,可得,一、球面波,球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标系的原点,则 k 与 r 的方向永远相同,E的大小只与半径 r及时间 t 有关,所以可写成 E = E(r,t),把它代入,该方程的解为,式中A是一个常数,讨论:1、,常数的面是等振幅面,对于单色,光,它同时也是等相面,都是球面,2、 球面波的振幅与传播距离 r 成反比, 即光强与距离平方 r2 成反比。,直角坐标系中的球面波,在oxy平面
5、上的某点 P(x,y)受到的该球面波的扰动所具有的复振幅为,由于,所以,U(0)为波源发出的球面波传到坐标原点处的复振幅,讨论: 1.在一定的近似条件下,球面波可以在直角坐标系中描述 2.xoy平面并不是球面波的波面,不是等相位面和等振幅面 3.但当R足够大的情况下,xoy平面可近似认为是等振幅面,斜入射波的表述,若令平面波面法线方向的单位矢量为,1、斜入射的平面波的表达式为,U(0,0)为入射的平面波到达坐标原点时的复振幅,其指数项是由于斜入射而引入的相位值。,2、斜入射的球面波的表达式为,式中包含了斜入射及球面波这两种形式所带来的结果。,其中,高斯光束包括了平面波因子 球面波因子 和二维高
6、斯函数,激光光波的波面(等相位面)是球面,但其球面半径 R 随距离 z 而变;当 z = 0 或 时, R都为无穷大,即为平面波。,三、高斯波,激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强在中心(x=y=0)处最大,为(W0/W)。随着 x、y 增大,场强减小。当 x2+ y2= W2 时,场强降低到中心处的1/e, W为光束的宽度。激光束的宽度在 z=0 时最小, W0为光束的腰。,由于在腰处的光束最小,故离腰较远处的光波可看作是以腰为球心的球面波。,高斯光束的发散角,2.3 光在均匀介质中的传播,一、光在介质中的传播,1、在介质中麦克斯韦方程组,jc为传导电流密度矢量,为自由电荷密度 介质中
7、的电磁性质由电位移矢量 D 和磁场强度矢量 H 来描述。,2、物态方程,r为该介质的相对介电常数,r为相对磁导率,jc 与介质的固有物性相关。对于透明介质材料, jc = 0 并可取= 0,对于非铁磁性介质, r 1。,3、波动方程 ( wave equation ),透明介质,真空,4、在介质中的参量,光波的传播速度,光波的波长,光波的角波数,介质的折射率,在一般情况下,r1,r1,故n 1 即 V c , 。,光的频率在任何介质中都不会改变的。 n = n () = n () 色散:介质的折射率 (refraction index) 随频率或波长而改变所产生的光学现象。,5、光程 ( op
8、tical path ),对比真空中和介质中的相位因子发现: n k r = k (nr),可知光波在折射率为 n的介质中传播时,由路程 r 引起的相位变化等效于在真空中路程 nr 引起的相位变化,即介质对于光波相位的影响可用 nr 代替 r 来表述。所以把 nr 称为光程。,定义为光程差,即折射率与路程差的乘积。 =ns。于是相位差为,在介质中,,变为,E 和H 的关系为,在真空中,在介质中,这是一个电场在oxz平面振动而磁场在oyz平面振动的电磁波。是一个在oxz平面偏振的平面偏振光。,当一束平面偏振光进入介质时,若n为常数,光波不改变偏振态。若介质折射率n与方向有关(各向异性介质),则偏
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- 第二 部分 光波 数学 表述 叠加 原理
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