三章微分中值定理.ppt
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1、第三章 微分中值定理,2,本章主要内容,3.1 微分中值定理 3.2 罗必达法则 3.3 函数单调性的判别法 3.4 函数的极值 3.5 函数的最大值和最小值 3.6 曲线的凹凸与拐点 3.7 函数图象的描绘,3,学习目标,熟悉微分中值定理 熟练掌握罗必达法则,并能够解决相应的问题 了解函数单调性的判别方法 了解函数的极值、最值、凹凸点、拐点 了解函数图象的描绘,4,3.1 微分中值定理,一、本章简介 1、主要内容:本章在已有知识的基础上,来介绍高等数学中的几个重要的概念中值定理,进而丰富了高等数学的知识,同时介绍了关于导数的应用。 2、 学习目标:了解中值定理的有关规定,以及由中值定理得到的
2、一些结论,同时掌握导数相关的应用。,5,(2) 在开区间,(3),如果函数,满足条件: (1)在闭区间,上连续;,内可导;,则在,内到少存在一点,二、罗尔(Rolle)定理,内到少存在一点,内到少存在一点,6,例1 验证函数,在区间,上是,否满足Rolle定理,若满足则,求出定理中的,解 设,显然,在,上连续,在,内可导,且,,满足Rolle定理的三,应用举例,内找到,,使,由,令,解得,取,有,个条件。按照Rolle定理的结论,一定能在,7,三、拉格朗日(Lagrange)定理,(2) 在开区间,内可导;,则在区间,,使得,此公式叫做微分中值公式或Lagrange公式,内至少有一点,8,例2
3、 验证函数,在区间,0,1上满足拉,格朗日定理,的条件,并求,的值,解: 本题主要应用 拉格朗日定理,主要先考虑到两个条件,根据,条件来验证。,9,上连续;,(2)在开区间,内可导,且,则在区间,内至少存在一点,,使得,3.2 罗必达法则, 在闭区间,四、柯西(Cauchy)定理,若函数,皆满足条件:,10,(2),与,在点,的某一空心邻域内可导,且,(3),则,与,满足条件:,(1),若函数,0,),x,g,x,(,0,),g,罗必达法则(),五、罗必达(LHospital)法则介绍,11,例1 求,解,12,型根据法则l,有,例2,13,则,14,下面来介绍未定式,型的极限,解,例3,15
4、,例4 求,解,16,型的极限求法举例,例5 求,解,型的极限求法举例,型的极限求法举例,17,例 6,求,解,18,其它类型的未定式极限的求法,型未定式求极限,为,型,即可用罗必达法则求极限了。,为,19,求,例7,型,解,20,我们在以前章节中讨论了函数单调性的概念,现在利用导数,来研究函数的单调性我们来介绍函数单调性的判别方法,导数的,符号来判定函数的单调性,函数单调性的判定定理介绍,定理3.4 设函数,在区间,内可导,, 若在区间,内,,那么函数,在,内单调增加;,3.3 函数单调性的判别法,21,(2)若在区间,内,,,那么函数,在,内单调减少。,22,例1 判定函数,的单调性。,解
5、 函数,的定义域为,。且,令,,解得驻点,除这些孤立的驻点外,,因此,函数,函数单调性的判定定理应用举例,在,单调增加。,23,例2 讨论函数,的单调性。,解 函数,在其定义域,内连续,且,令,,得驻点,函数没有导数不存在的点.点,把函数的定,义域分成,三个子区间,通过列表(略),我们可以知道,在区间,和,内单调增加;在区间,内单调减少。,24,例3 讨论函数,的单调性。,解 (1)求导,并找出驻点和不可导点 驻点为 不可导点为,(2)根据以上两点分成三个子区间,在区间,和,内单调减少;,在区间,内单,调增加。,(3)根据三个子区间,讨论增减性得:,25,引入,请看图3-4,可以看到,函数,在
6、点,处的函数,值,比它们左右邻近各点的函数值大,而在点,3.4 函数的极值,26,处的函数,比它们左右邻近各点,的函数值,都小这些点都是特殊的点,他们是邻近点中数值较大或较小的点.,下面我们来,介绍一下函数极值的有关定义,函数极值的定义,设函数,在,的某个邻域内有定义,(1)如果对于该邻域内的任意点,都有,则称,为函数,的极大值,并且称点,是,的极大值点;,27,(2)如果对于该邻域内的任意点,都有,则称,为函数,的极小值,并且称点,是,的极小值点,函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值,的点称为函数的极值点,函数极值的相关定理,定理l(必要条件) 设函数,在点,可导,且在点,取
7、得极值,则函数在点,的导数,28,定理2(第一充分条件) 设函数,在点,处连续,在点,的某个去心邻域,内可导,(1)如果在,的邻域内,当,时,,0;当,X ,时,,0,则函,数,在点,取得极大值,(2)如果在,的邻域内,,当x,时,,0;当,X ,时,0,则函,数,在点,取得极大值,(3)如果在,的去心邻域内,不改变符号,则,不是函数,的极值,29,函数极值求法举例,例1 求函数,的极值。,解 函数,的定义域为,令,,解得,,函数没,有导数不存在的点。,三个驻点将函数的定义域分成,四个子区间,,由列表、分析(略)可知,函数的极大值为,,极小值为,30,例2 求函数,的极值。,解 函数,的定义域
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