三章线方程组.ppt
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1、第三章 线性方程组,线性方程组的消元法 线性方程组有解判别定理 线性方程组的应用,第一节 线性方程组的消元法,一、线性方程组的基本概念,1. 线性方程组的定义,引例,有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3,其年产量分别为40t ,20t 和 10t ,该产品每年有两个用户 B1、B2 ,其用量分别为 45t 和 25t,引例,有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3,其年产量分别为40t ,20t 和 10t ,该产品每年有两个用户 B1、B2 ,其用量分别为 45t 和 25t,不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元 ,问各厂的产品如何调配才能使总运费最少?,解,设各厂
2、到各用户的产品数量如表 1-2,依题意,3个厂的总产量和用户的总用量相等:,再来看总运费,由表1-1:,1,2,于是,题目要解决的问题是:,使之满足方程组 ,和 ,并使总运费最少 .,几个线性方程联立在一起,称为线性方程组,若未知数的个数为 n ,方程个数为 m ,则线性方程组可以写成如下形式 :,若常数项均为0,则称方程组为齐次线性方程组,,否则 ,称为非齐次线性方程组 .,2. 线性方程组的线性组合,线性方程的加法:,将两个线性方程,(1),(2),的左右两边相加得到如下的新线性方程:,称为原来两个线性方程的和。,线性方程乘常数,将线性方程,两边同乘以已知常数 ,,线性方程与常数相乘,也称
3、为方程的数乘。,线性方程的线性组合,将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数,再将所得的两个方程相加,得到新方程:,得到一个新的线性方程:,(3),称为原来两个方程(1)和(2)的一个,称为这个线性方程的组合系数。,将(1)和(2)看作一个线性方程组,其任意组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II),如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合,就称(II)是(I)的线性组合。,线性组合,,若方程组(I)和(II)互为线性组合,则称这两个方程组,等价,,等价的线性方程组一定同解。,将方程组(I)变成,方程组(II)的过程称为,同解变换。,例1,二、线性方程组的消
4、元法,求解线性方程组,1、线性方程组的初等变换,解,用“回代”的方法求出解:,于是解得,(2),小结:,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换,(1)交换方程次序;,(2)以不等于的数乘某个方程;,(3)一个方程加上另一个方程的k倍,定义1,上述三种变换均称为线性方程组的初等变换 ,( 与 相互替换),3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,定理1,线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组 ,2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性
5、方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),定理2,在齐次线性方程组,证明:,显然 ,方程组在化成阶梯型方程组之后 ,,方程个数不会超过原方程组中方程个数 ,即,在第一章用消元法讨论线性方程组,第二节 线性方程组有解判别定理,(1),的求解问题.,第三章中(1) 式写成以向量 x 为未知元的方程,(2),定理1,证明,其中,那么,相应的矩阵的,行初等变换将方程组(1)的系数矩阵A 和增广,矩阵B 分别化成,因为,都是阶梯型矩阵,所以可以看出,而,而初
6、等变换不改变矩阵的秩,所以,定理2 n元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 .,推论1 当 时,齐次线性方程组 只有唯一的零解.,推论2 当 时,齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .,例1 解齐次线性方程组,解 对系数矩阵A作初等变换变为最简形:,原方程的同解方程组为,取 为自由变量,即得,令 ,将之写成为通常的参数形式,其中 为任意实数,写成列向量形式,例 2 设有线性方程组,(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?并在有无穷多个解时求其通解,问 为何值时,此线性方程组,解 因为方程的个数与未知量的个数相同, 故可从系数矩阵的行列式入手讨论 因为,故由克
7、拉默法则知,当 , , 时,当 时,写出对应方程组的增广矩阵 ,,方程组有唯一解,并把它化成行阶梯形矩阵,所以方程组无解,当 时,,所以方程组无解,当 时,,所以方程组有无穷多个解,取 为自由未知量,得原方程组的同解方程组为,即,令 为任意常数,则得方程组的通解为,例3 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形:,定理3 矩阵方程 有解的充分必要条件是 .,例4 求解齐次线性方程组,解,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例5 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换,,故方程组无解,例6 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解,且有,所以方程组的
8、通解为,例7,解证,对增广矩阵B进行初等变换,,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解:,第三节 线性方程组的应用,剑桥减肥食谱问题,一种在20世纪80年代很流行的食谱,称为剑桥食谱,是经过多年研究编制出来的。这是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究,在剑桥大学完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所希望的数量和比例的营养,Howard博士在食谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所需要的成分,然而没有按正确的比例。例如,,脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但
9、包含过多的钙,因此大豆粉用来作为蛋白质的来源,它包含较少量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪,因而加上乳清,因乳清含脂肪较少,然而乳清又含有过多的碳水化合物 在这里我们把问题简化,看看这个问题小规模的情形。表1是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。,如果用这三种食物作为每天的主要食物,那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求?,以100克为一个单位,为了保证减肥所要求的每日营养量,设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位,大豆面粉x2个单位,乳清x3个单位,则由所给条件得,MATLAB代码如下:Untitled2.m,clear; A=36,51,13;52,34
10、,74;0,7,1.1; b=33;45;3; U=rref(A,b),网络流问题 当科学家、工程师或者经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。例如,城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式;电气工程师计算流经电路的电流;以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。 一个网络包含一组称为接合点或节点的点集,并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流的方向在每个分支上有标示,流量(速度)也有显示或用变量标记。,网络流的基本假设是全部流入网络的总流量等于全部流出网络的总流量,且全部流入一个
11、节点的流量等于全部流出此节点的流量。于是,对于每个节点的流量可以用一个方程来描述。网络分析的问题就是确定当局部信息(如网络的输入)已知时,求每一分支的流量。,电路问题,在工程技术中所遇到的电路,大多数是很复杂的,这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中,含有元件的导线称为支路,而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析,粗略地说,就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算,通常采用基尔霍夫(Kirchhoff)定律来解决。以图3-2所示的电路网络部分为例来加以说明。,于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解,相应MATLAB代码为:
12、dianliu.m clear A=1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0; b=0;0;0;0; R,s=rref(A,b); r=length(s); disp(对应齐次线性方程组的基础解系为:) x=null(A,r),解之,得其解为,交通流问题 图3-3给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量(每小时车辆数目)。计算该网络的车流量。,由网络流量假设,有 对于节点A: 对于节点B: 对于节点C: 对于节点D: 对于节点E:,于是,所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。,求解该问题的相应MATLAB代码:wang
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