高等数学北大第二版53空间中平面及直线的方程.ppt
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1、,1.平面的方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,5-3 空间中平面与直线的方程,平面的点法式方程(1)可以化成,例1 已知一平面的法向量为(2,3,4),平面上一点 的坐标为(1,1,1),则该平面之方程是:,即,补例 求过三点,即,解 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,例2 已知一平面的方程为,解,于是,平面的一般方程,由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三
2、元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为n=(A, B, C).,例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平面的一个法线向量.,例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程.,解,先在平面上任意选定一点,,比如(-3,1,1).,则有,平面的三点式方程,已知不在同一直线上的三点,与 不共线, 即,以 作为所求平面的法向量.,设 是平面上任一点, 显然 垂直于,此混合积的坐标形式为:,解,所求的平面方程是,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C
3、z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面;,平行于 zox 面 的平面.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,补例 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,平面的截距式方程,同理求得
4、,平面的截距式方程为,两平面的夹角,设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面1和2的夹角 应满足,两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0.,两平面垂直的条件,两平面平行的条件,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
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