高等数学北大第二版67多元函数的微分中值定理与泰勒公式.ppt
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问题的提出,一元函数的泰勒公式:,6-7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式,一元函数的泰勒公式中令n=0,得拉格朗日中值公式:,1. 二元函数的微分中值定理,定理1 (二元函数的拉格朗日中值公式),或写成,证,有链规则得,另一方面,又一元函数的拉格朗日中值定理,可以推 出,存在一个 , ,使得,即,证毕.,推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且 满足 证明:f(x,y)在D内为一常数.,证,于是有,即f(x,y)在D内为,一常数.,函数 在一点 的 阶微分为:,如:,2. 二元函数的泰勒公式,利用这种记号拉格朗日种值公式可写成:,定理,证,显然由链规则,且,递推地得到,其中,- 拉格朗日余项,则,令,所以,二元函数的带皮亚诺 型的泰勒公式,例1 求函数 在点(1,1)的二阶泰勒多 项式及带皮亚诺余项的泰勒公式.,解,先计算函数在(1,1)点的各界偏导数:,即,多元函数的泰勒多项式的唯一性定理.,例2 在点(0,0)的邻域内,将函数 按带 皮亚诺型余项的泰勒公式展开至二次项.,解,已知,因而由上两式相乘可得,有泰勒多项式的惟一性,上式即为所求 .,习题 1.2. (4).,
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