矩阵分析3ppt课件.ppt
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1、,矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授,二六年五月,第一章 线性空间与线性变换,第二章 内积空间,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第四章 矩阵函数及其应用,第五章 特征值的估计与广义逆矩阵,第六章 非负矩阵,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1 矩阵的相似对角形 2 矩阵的约当标准形 3 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式 4 多项式矩阵与史密斯标准形 5 多项式矩阵的互质性与既约性 6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解 7 系统的传递函数矩阵* 8 舒尔定理及矩阵的QR分解 9 矩阵的奇异值分解,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
2、,数字矩阵 多项式矩阵 有理分式矩阵 标准型 分解形式: QR分解 奇异值分解 导引性的讨论,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,那么,A是否可以相似于对角矩阵?即,1. 矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件,是A有n个线性无关的特征向量,充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值, 则A可与对角矩阵相似,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值, 则A可与对角矩阵相似 方法 1)求矩阵A的特征值 2)求对应的特征向量
3、3)求变换矩阵(由特征向量构造) 4)求变换矩阵的逆矩阵 5)进行变换,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,例,特征多项式 特征值,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,对应的特征向量分别为,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵不能相似于对角阵的时候,能否找到一个比较简单的分块对角阵与它相似?,J称为约当矩阵
4、,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,性质 | 表示整除,k阶行列式因子 的所有不为0的k阶子式的最大公因式,记为,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,称为A的不变因子,不变因子,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,初等因子 在不变因子中,次数大于1的在复数 范围内分解成一次式和一次式的乘幂 的形式,所有的一次式或者一次式的 乘幂的形式,放在一起叫做初等因子,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,约当标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
5、,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,哈密顿-开莱定理,代数多项式,矩阵多项式,是A的特征多项式,则,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,应用 计算矩阵多项式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,最小多项式 A的零化多项式次数最低的 (首一化)记为m(A),A的最小多项式可被它的所有零化多项式整除,A的最小多项式唯一,性质,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,计算方法,应用 进一步简化矩阵多项式的计算,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标
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