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1、第八章 相量法,内容:, 复数, 正弦量, 相量法的基础, 电路定律的相量形式,8. 1 复数,一、复数的几种形式:,1、代数形式:F = a + j b,a=Re F b=Im F ,2、三角形式:F=|F| (cos+jsin),3、指数形式:F=|F|,欧拉公式:,极坐标形式: F=|F|,一、复数的运算:,则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算直角坐标,若 F1=a1+jb1, F2=a2+jb2,加减法可用图解法。平行四边形法,(2) 乘除运算极坐标(指数形式),除法:模相除,角相减。,乘法:模相乘,角相加。,则:,例1.,解:,例2.,解:上式,(3) 旋转因子
2、:,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ,而模不变。,8. 2 正弦量,一. 正弦量:按正弦规律变化的量。,瞬时值表达式:,i(t)=Imsin(w t+y),波形:,周期T (period)和频率f (frequency) :,频率f :每秒重复变化的次数。,周期T :重复变化一次所需的时间。,f =1/T,单位:Hz,赫(兹),单位:s,秒,(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im:反映正弦量变化幅度的大小。,(2) 角频率(angular frequency)w :每秒变化的角度(弧度), 反映正弦量变化快慢。,二
3、、正弦量的三要素:,(3) 初相位(initial phase angle)y :反映了正弦量的计时起点。,(wt+y )表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。,2,t,单位: rad/s ,弧度 / 秒,i(t)=Imsin(w t+y),峰-峰值:2 Im,同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同。, =0, =/2, =-/2,一般规定:| | 。,一个电路中的许多相关的正弦量,计时零点必须相同。,三、正弦量的性质:,正弦量的微分、积分,同频正弦量的代数和等运算,结果仍为一个同频率的正弦量。,四、周期量的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变,为了衡量
4、其大小工程上采用有效值来表示。用大写字母表示。,物理意义:周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期T 内吸收的电能,等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸收的电能,则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。,均方根值,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imsin( t+ ),同理,可得正弦电压有效值与最大值的关系:,若一交流电压有效值为U=220V,则其最大值为Um311V;,U=380V, Um537V。,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值,如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,测量中,电磁式交流电压、
5、电流表读数均为有效值。,*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,五、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。,设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i),则 相位差 即相位角之差: j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i, j 0, u 领先(超前)I j 角,或i 落后(滞后) u j 角(u 比 i 先到达最大值);, j 0, i 领先(超前) uj 角,或u 落后(滞后) i j 角(i 比 u 先到达最大值)。,恰好等于初相位之差,j =0, 同相:,j = (180o ) ,反
6、相:,规定: |y | (180)。,特殊相位关系:, = p/2:u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2; i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,8. 3 相量法的基础,正弦稳态电路的特点:激励和稳态响应统一频率。,相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。,加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系),同时也改用“相量”,而不用“向量”,是因为它表示的不是一般意义的向量,而是表示一个正弦量。,为正弦量 i(t) 对应的相量。,正弦量的相量表示:,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量
7、的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系:,1、相量:,已知,例1.,试用相量表示i, u .,解:,例2.,试写出电流的瞬时值表达式。,解:,2、相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示):,我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义:,ej t 为一模为1、幅角为 t 的相量。随t的增加,模不变,而幅角与t成正比,可视其为一旋转因子,当t从0T时,相量旋转一周回到初始位置, t 从02。,3、 相量运算,(1) 同频率正弦量相加减,故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。,这实际上是一种 变换思想,可得其相量关系为:,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。
8、相量图在正弦稳态分析中有重要作用,尤其适用于定性分析。,首尾相接,(2) . 正弦量的微分,积分运算,微分运算:,积分运算:,相量微分:,相量积分:,(3)、 相量法的应用,求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解),例,一阶常系数 线性微分方程,自由分量(齐次方程解): Ae-R/L t,强制分量(特解):Imsin(w t+y i),解:,用相量法求:,取相量,小结, 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。, 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解,即可用来分析正弦稳态电路。,8. 4 电路定律的相量形式,VCR、KCL和KVL,一、电阻、电感和电容的V
9、CR,1. 电阻,时域形式:,相量形式:,相量模型,有效值关系:UR=RI,相位关系u=i (u,i同相),相量关系:,瞬时功率:,波形图及相量图:,瞬时功率以2交变。但始终大于零, 表明电阻始终是吸收(消耗)功率。,2 . 电感,时域形式:,相量形式:,相量模型,1. 相量关系:, =0时,相当于短路,功率:,波形图:,瞬时功率以2交变,有正有负, 一周期内刚好互相抵消。,3、 电容,时域形式:,相量形式:,相量模型,有效值关系: IC=w CU,相位关系:i=u+90 (i 超前 u 90), =0时,相当于开路,功率:,波形图:,瞬时功率以2交变,有正有 负,一周期内刚好互相抵消。,4、 受控源,时域形式:,相量形式:,二、基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此,在正弦电流电路中,KCL和KVL可用相应的相量形式表示:,由KVL:,其相量关系也成立,例1:,列KVL,一般设电流相量为参考相量,例2:列KCL方程,书上例8-4,187页,列KCL,一般设电压相量为参考相量,
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