控制系统的状态空间描述.ppt
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1、第1章 动力学系统的状态空间描述,1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念 1.2 状态空间表达式的结构图 1.3 根据系统的物理机理建立状态空间表达式 1.4 根据系统输入输出关系建立状态空间描述 1.5 状态空间标准形的表达式 1.6 状态空间的等价变换 1.7 从状态空间描述求传递函数(阵) 1.8 非线性和离散系统的状态空间描述,1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念,1动力学系统 :一个能贮存输入信息的系统 称为动力学系统。,式(1.1-1)为一代数方程,它表明此系统的行为可以由输出与输入之间的瞬间关系来确定,与系统的过去历史无关。,例1.1-1 设有图1.1所示系统。 教材P
2、7,对电感电路系统,输入为u(t),输出为i(t),其输入输出关系为:,在该电路中,由于包含了一个储能元件电感,它有存储信息的能力,才使得系统的未来行为受过去历史的影响,因而必须引入一个量(状态变量)来概括这种影响。,定义 动态系统的状态向量(简称状态),是指足以完全地描述系统时域行为的一个最小的变量组。该变量组中的每一个变量称为状态变量。 (教材 P8),2状态变量,系统在任何时刻t的状态变量组(状态),实际上是以某种有效的方式,充分地、既不多也不少地概括和存储了与系统过去历史有关的信息,这些附加信息与未来的输入变量一道,就能确定系统未来的行为,由此可见状态变量组的重要性。,状态变量组完全表
3、征系统运动状态的最小个数的一组变量。 表示符号:x1(t), x2(t), , xn(t) 注:状态变量的选取不具有唯一性; 状态变量不一定在物理上可测; 尽可能选取容易测量的量作为状态变量。,3状态向量,若系统有n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t),以这n个状态变量为分量组成的向量称为状态向量,如:,4状态空间,以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标构成的n维欧氏空间称为状态空间。,5状态轨线 系统在任意时刻t的状态,在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移,系统的状态在变化,并在状态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹为状态轨迹(线)
4、。,6状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)。 一般表达式:,7输出方程 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程(连续时间系统)。 一般表达式:,8状态空间表达式,状态方程 输出方程,(1)一般表达式:,(2)线性系统状态空间表达式:,(3)线性定常系统状态空间表达式:,1.2 线性系统状态空间表达式的结构图,一.状态空间表达式结构图绘制步骤 画出所有积分器;积分器的个数等于状态变量数, 每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。 根据状态方程和输出方程,画出相应的加法器和 比例器; 用箭头将这些元件连接起来。,举例:,例1.4-1 画出
5、下列微分方程的状态变量图,设:,练习已知系统状态空间描述如下,画出下列状态方程的状态变量图,解:写成矩阵形式,反之,已知系统的状态变量图,也能列写系统的状态方程。,由控制系统的结构图建立状态空间表达式,将系统结构图模型转化为状态空间表达式,一般有下列三个步骤:,第一步:将系统结构图各环节等效变换分解,使得整个系统只有标准积分器(1/s)、比例器(k)及加法器组成;,第二步:将分解后的每个标准积分器(1/s)的输出作为一个独立的状态变量xi,积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。,第三步:根据调整过的结构图中各信号的关系,可以写出每个状态变量的一阶微分方程,从而写出系统的状态方程。根
6、据指定的输出变量,还可以从结构图写出系统的输出方程。,【例1.4-2】某控制系统的结构图如图所示,试求出其动态方程。,解:,写成矩阵向量形式,【例1.4-3】 求如图所示系统的动态方程。,解: 1.第一次等效变换,2. 由标准积分器组成的等效方块图,1.3 根据系统的物理机理建立状态空间表达式,1.根据系统机理建立状态空间表达式步骤: 1)选择系统中一个“线性无关极大变量组”作为状态变量组。通常可选为各个储能元件(如电路中电容和电感)的相应变量(如电容的端电压和流经电感的电流)。,)根据系统的物理学定律(基尔荷夫定律、牛顿定律)组成系统的原始方程。,)通过原始方程的计算和整理,导出等式左端为状
7、态导数 ,右端为状态x线性项和输入u线性项相加的“状态方程”,以及等式左端为输出y,右端为状态x线性项和输入u线性项相加的“输出方程”,常见的储能元件及其状态变量选取参考,例1 试列写如图所示RLC的电路方程,建立系统的状态空间表达式。,解:,1.设状态变量为:,2.根据基尔荷夫定律组成系统的原始方程。,)通过原始方程的计算和整理,导出状态方程和输出 方程。,由前面的(1)式,得:,输出方程:,简记为:,由此可见: 1. 系统的状态空间表达式不具有唯一性; 2. 同一系统的不同状态空间表达式之间存在某 种线性变换关系。,P为非奇异变换矩阵,例2弹簧-质量-阻尼系统,2.根据牛顿定律组成系统的原
8、始方程。,.通过原始方程的计算和整理,导出状态方程和输出方程。,1.设状态变量为:,系统状态空间矩阵表达式:,例3直流电动机系统,设状态变量 建立原始方程:,3. 整理状态方程和输出方程:,对于如图所示的机械阻尼运动系统,已知系统的微分方程:,练习一:,分别写出系统以f为输入,以y1和y2为输出的状态空间表达式,进一步理解状态空间表达式的非惟一性。,令状态变量,令状态变量,1.4 根据系统微分方程或传递函数建立状态空 间表达式,一微分方程中不含输入函数导数项,若已知,及 时的输入u(t),则系统在 时的行为就可以唯一确定。因此,可以选取如下一组状态变量:,状态方程:,输出方程:,系统的状态空间
9、表达式为:,例:,状态空间表达式:,二微分方程中包含输入函数导数项,方法一: 选取如下一组状态变量:,该方法的推导过程比较烦琐,为了简化推导过程,以三阶系统为例,采用从特殊到一般的方法.,选取如下一组状态变量:,状态空间表达式矩阵形式,例1.3-1已知系统微分方程如下,试列写状态空间表达式:,解: 对照式(1.3.8)微分方程各项系数,系统的状态空间表达式:,推广到n维情况,练习:,已知系统微分方程如下,试列写状态空间表达式。,解: 由式(1.3.16)得:,1.5 状态空间标准形的表达式,1. 可控标准型 2. 可观测标准型 3. 对角标准形(并联分解) 4. 若当标准型 5. 模态标准形,
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